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 2. Ableitung einer Ableitung |
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saganakist
Neu 
Dabei seit: 08.12.2016
Mitteilungen: 3
 |  Themenstart: 2016-12-08
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Moin,
Ich stehe irgendwie völlig auf dem Schlauch. Um eine DGL zu linearisieren muss ich nun eine partielle Ableitung nach einer Variablen bilden, welche auch als Ableitung in der Funktion vorkommt.
Vorweg mal die DGL mitsamt den Ruhe-/Arbeitspunkten.
f= \alpha '' + \alpha ' *k/(m*l) +g/l*sin(\alpha)-\omega^2*(r_0/l*cos(\alpha)+1/2*sin(2*\alpha))
Arbeitspunkte:
\omega=\omega_0
\alpha=\alpha_0
\alpha '=0
\alpha ''=0
Dementsprechend muss ich jetzt die partiellen Ableitungen nach Omega, Alpha, Alpha' und Alpha'' bilden.
Nach Omega war kein Problem. Da fällt ja der ganze Teil mit den Ableitungen auch raus, da konstant.
Jetzt konnte ich jedoch keine Rechenregeln finden, wie ich die Ableitungen zu behandeln habe. Bei der Ableitung nach Alpha hatte ich noch einfach akzeptiert, dass die Ableitungen irgendwie 0 sein werden. Den genauen Hintergrund habe ich jedoch auch da schon nicht verstanden, nur vermutet.
Nur verstehe ich z.B.
pdiff(f,\alpha ')=k/(m*l)
nicht mehr. Sind sämtliche Alphas außer halt Alpha'' als konstant anzusehen? Aber die sind doch von Alpha'' auch abhängig und damit nicht zeitkonstant? Oder muss/kann ich die Arbeitspunkte vorm ableiten schon einsetzen, so dass ich diese Teile als konstant ansehen kann. Obwohl dann der teil mit k/(m*l) ja auch wegfallen müsste.
Ich hoffe mir kann jemand hier helfen, dass der Groschen fällt. Ich bedanke mich schon einmal vielmals für jeden der zumindest einen Gedanken hieran verschwendet :)
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saganakist
Neu 
Dabei seit: 08.12.2016
Mitteilungen: 3
|  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2016-12-13
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Bitte erst den Nachtrag lesen. Habe doch eine kurze Idee, die nur bestätigt werden müsste. Dadurch würden sich die Probleme erübrigen.
Ich vermute, dass ich zwei unabhängige Probleme im Grundverständnis habe.
Problem 1:
pdiff(f,\alpha)
Müsste aus \alpha '' nicht \alpha ''' werden? Hierfür habe ich jedoch keinen Information zum Ruhepunkt. Ich kann also nicht einfach sagen, dass dieser Wert 0 ist. Das kann ich ja auch nicht aus der Information rauslesen, dass \alpha ' = 0 und \alpha ''=0 , denn die dritte Ableitung könnte ja immernoch ungleich Null sein. Oder denke ich hier zu sehr an die Schulmathematik, wo ja hier ein Sattelpunkt existieren könnte? Immerhin kann kein Sattelpunkt existieren, wenn die erste und zweite Ableitung über den kompletten Funktionsverlauf 0 sind, dadurch wäre die dritte Ableitung dann ja auch immer 0 um den Ruhepunkt. Aber der Ruhepunkt hat ja mit der Ableitung erstmal nichts zu tun. Wenn meine Vermutung richtig wäre, wäre aber ja auch die Information \alpha ''=0 unnötig, da sie sich mit der selben Logik aus \alpha ' = 0 erschließen würde.
Problem 2:
Vielleicht ja doch das selbe Problem, sollte ich einfach völlig falsch mit der Ableitung umgehen. Hier also zu pdiff(f,\alpha ')
NACHTRAG:
Hier kam mir die Idee, \alpha '' und \alpha dann doch einfach als Konstant zu betrachten, auch wenn sich mir nicht ganz erklärt, dass sie unabhängig sind von \alpha . Ist das die (doch recht simple) Lösung meines Problems? Kann ich das machen, weil ich ja nur partiell ableite und somit für meine späteren Zwecke ja auch pdiff(f,\alpha '') und pdiff(f,\alpha) mit einbeziehe?
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lula
Senior 
Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 11547
Wohnort: Sankt Augustin NRW
 | Beitrag No.2, eingetragen 2016-12-13
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Hallo
ich verstehe unter Linearisierung dass du sin(x) durch x, cos(x) durch 1 ersetzt.
also die Funktionen von \alpha durch ihre linearen Näherungen , allerdings hier wahrscheinlich durch ihre Näherung bei \alpha_0 nicht \alpha=0 also sin(x)=cos(x_0)*(x-x_0) usw.
Gruß lula
Gruß ledum
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saganakist
Neu
Dabei seit: 08.12.2016
Mitteilungen: 3
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2016-12-13
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\quoteon(2016-12-13 15:38 - lula in Beitrag No. 2)
Hallo
ich verstehe unter Linearisierung dass du sin(x) durch x, cos(x) durch 1 ersetzt.
also die Funktionen von \alpha durch ihre linearen Näherungen , allerdings hier wahrscheinlich durch ihre Näherung bei \alpha_0 nicht \alpha=0 also sin(x)=cos(x_0)*(x-x_0) usw.
Gruß lula
Gruß ledum
\quoteoff
Vielen Dank schonmal für die Antwort!
Ich linearisiere mit Hilfe der Taylorreihenentwicklung (bzw. ehrlich gesagt dem was ich als Elektrotechniker am Ende davon gebrauchen kann).
Dafür nutze ich das recht simple Rezept:
-Arbeitspunkte bestimmen (Hier gegeben)
-Partielle Ableitung für alle Variablen bilden ( Hier also: pdiff(f,\omega); pdiff(f,\alpha); pdiff(f,\alpha '); pdiff(f,\alpha '') ) und die übrigbleibenden Variablen durch die Ruhepunkte ersetzen. So wird aus sin(x) also ganz einfach sin(x_0) was ja konstant und damit dann linear ist.
-Ableitungen mit den Delta-Größten zusammenfügen
Die Sinuse und Cosinuse bereiten mir demenstprechend vorerst gar keine Probleme, sondern ich kriege schlicht und ergreifend die partiellen Ableitungen (mit Ausnahme nach Omega) nicht hin. Ich käme jedoch auf die Musterlösungen der partiellen Ableitungen, wenn ich bei der partiellen Ableitung pdiff(f,\alpha) Alpha' und Alpha'' als konstant betrachte. Genauso wenn ich bei pdiff(f,\alpha ') Alpha und Alpha'' als konstant sehe und dementsprechend bei pdiff(f,\alpha '') Alpha und Alpha'.
Demenstprechend würden bis auf bei der Ableitung nach Alpha auch alle Sinuse und Cosinuse rausfallen, da sie konstant sind.
Ist das des Rätsels Lösung und eine Art allgemeine Regel bei partiellen Ableitungen?
Edit:
Ich sehe jetzt erst, dass du ja bei sin(x) genau das gemacht hast. Partielle Ableitung nach x (cos(x)). und dann das Delta-X (x-x_0) hinten ran. Genauso hätte ich es auch gemacht. Das Problem welches ich oben habe ist aber ja ein anderes.
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