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Universität/Hochschule J Eindeutigkeit (kleine Frage)
_ode45
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2016-12-27


Liebes Forum

Ich bleibe beim Lesen in der Literatur oft an Kleinigkeiten hängen wie hier zum Beispiel...

<math>\Phi"" + A \Phi = 0\newline \ </math>
<math>\Phi(\phi) = e^{i\sqrt{A}\phi}</math>

Suchen wir nach Lösungen, die für alle Winkel definiert sind, so verlangt die Eindeutigkeit der Lösungen <math>A=m^2,\  m \in \mathbb{Z}</math>

Warum fordert man nicht einfach <math>A=m,\  m \in \mathbb{R}_{>0}</math>?

Kann mir das jemand erläutern? Danke!




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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2016-12-27


Hallo, _ode45,

herzlich willkommen auf dem Matheplaneten!

Es kommt ganz darauf an, was <math>\phi</math> sein soll:

 - ist das einfach reell, so stimmt die angegebene Lösung.

 - ist <math>\phi</math> ein Winkel, dann müsen die Lösungen zusätzlich <math>\Phi(0)=\Phi(2\pi)</math> und  <math>\Phi"(0)=\Phi"(2\pi)</math> erfüllen, um eine zweimal stetig differenzierbare Lösung zu beschreiben (sogenannte periodische Randbedingungen). Damit handelt es sich nicht mehr "nur" um eine Dgl. sondern um ein Randwertproblem.

Wally



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2016-12-27


2016-12-27 11:59 - _ode45 im Themenstart schreibt:
Warum fordert man nicht einfach <math>A=m,\  m \in \mathbb{R}_{>0}</math>?

Wie schon von Wally erwähnt, ist für positives reelles <math>A</math> die <math>2\pi</math>-Periodizität nicht mehr gewährleistet, welche natürlich für einen Winkel <math>\phi</math> gelten muss. Es gibt allerdings noch 3 Sachen, die ich nicht verstehe, und das sind

- warum du dabei die offensichtliche Lösung mit <math>A=0</math> ausschließt,

- warum du nicht gleich die allgemeine Lösung, sondern nur eine ganz spezielle angibst,

- warum du dich schließlich nicht einfach der trigonometrischen Funktionen <math>\sin(mx)</math> und <math>\cos(mx)</math> bedienst, welche für <math>A=m^2 \ (m \in \mathbb Z)</math> offensichtlich Lösungen der Differenzialgleichung sind, wobei die allgemeine Lösung dann einfach nur eine Linearkombination von diesen ist.



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_ode45
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2016-12-28


Hallo Wally, hallo weird

Vielen Dank!! Eure Erklärungen haben meine Verwirrung gelöst.

In meinem Fall handelt es sich tatsächlich um ein Randwertproblem. Die Forderung der Periodizität macht somit völlig Sinn.


@weird
zum ersten Punkt: Das war keine Absicht. Die triviale Lösung gehört natürlich dazu.

zum Punkt 2&3: Das Beispiel habe ich aus dem Kontext eines grösseren Problems aus der Literatur (Mathematik, Arens, Hettlich, et al.) entnommen. Deine Fragen sind natürlich berechtigt.




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