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Universität/Hochschule J Eindeutigkeit (kleine Frage)
_ode45
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  Themenstart: 2016-12-27

Liebes Forum Ich bleibe beim Lesen in der Literatur oft an Kleinigkeiten hängen wie hier zum Beispiel... $\Phi'' + A \Phi = 0\newline \ $ $\Phi(\phi) = e^{i\sqrt{A}\phi}$ Suchen wir nach Lösungen, die für alle Winkel definiert sind, so verlangt die Eindeutigkeit der Lösungen $A=m^2,\ m \in \mathbb{Z}$ Warum fordert man nicht einfach $A=m,\ m \in \mathbb{R}_{>0}$? Kann mir das jemand erläutern? Danke!


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Wally
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  Beitrag No.1, eingetragen 2016-12-27

Hallo, _ode45, herzlich willkommen auf dem Matheplaneten! Es kommt ganz darauf an, was $\phi$ sein soll: - ist das einfach reell, so stimmt die angegebene Lösung. - ist $\phi$ ein Winkel, dann müsen die Lösungen zusätzlich $\Phi(0)=\Phi(2\pi)$ und $\Phi'(0)=\Phi'(2\pi)$ erfüllen, um eine zweimal stetig differenzierbare Lösung zu beschreiben (sogenannte periodische Randbedingungen). Damit handelt es sich nicht mehr "nur" um eine Dgl. sondern um ein Randwertproblem. Wally


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weird
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  Beitrag No.2, eingetragen 2016-12-27

\quoteon(2016-12-27 11:59 - _ode45 im Themenstart) Warum fordert man nicht einfach $A=m,\ m \in \mathbb{R}_{>0}$? \quoteoff Wie schon von Wally erwähnt, ist für positives reelles $A$ die $2\pi$-Periodizität nicht mehr gewährleistet, welche natürlich für einen Winkel $\phi$ gelten muss. Es gibt allerdings noch 3 Sachen, die ich nicht verstehe, und das sind - warum du dabei die offensichtliche Lösung mit $A=0$ ausschließt, - warum du nicht gleich die allgemeine Lösung, sondern nur eine ganz spezielle angibst, - warum du dich schließlich nicht einfach der trigonometrischen Funktionen $\sin(mx)$ und $\cos(mx)$ bedienst, welche für $A=m^2 \ (m \in \mathbb Z)$ offensichtlich Lösungen der Differenzialgleichung sind, wobei die allgemeine Lösung dann einfach nur eine Linearkombination von diesen ist.


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_ode45
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2016-12-28

Hallo Wally, hallo weird Vielen Dank!! Eure Erklärungen haben meine Verwirrung gelöst. In meinem Fall handelt es sich tatsächlich um ein Randwertproblem. Die Forderung der Periodizität macht somit völlig Sinn. @weird zum ersten Punkt: Das war keine Absicht. Die triviale Lösung gehört natürlich dazu. zum Punkt 2&3: Das Beispiel habe ich aus dem Kontext eines grösseren Problems aus der Literatur (Mathematik, Arens, Hettlich, et al.) entnommen. Deine Fragen sind natürlich berechtigt.


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