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 Mengentheorie |
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sophie92
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 30.10.2016
Mitteilungen: 35
 |  Themenstart: 2017-01-27
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Hallo, ich bin leider bei dieser Aufgabe sehr verwirrt und hoffe auf eine Erklärung :-?
sei I=(a,b) \subset\ \IR ein Intervall mit Länge abs(I)=b-a
sei {I_n } abzählbare Familie von offenen Intervallen mit [0,1]\subset\ union(I_i,i=1,\inf ) dann gilt sum(abs(I_k),k=1,\inf )>= 1
und der Hinweis lautet man solle dies erst für eine endliche Familie betrachten...
leider weiß ich gar nicht was oder wie ich das zeigen soll, ist das denn nicht irgendwie offensichtlich ? :-P
aus der Bedingung das [0,1] in der Vereinigung ist folgt doch direkt dass eine disjunkte Vereinigung ex. bzw ein intervall das [0,1] enthält sodass dieses Intervall Teilmenge der ursprünglichen Vereinigung ist und damit auch die länge kleiner ist aber immernoch größer als eins :-?
Würde mich sehr freuen wenn mir jemand erklären könnte was genau in dieser Aufgabe gefragt ist...
LG
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Gockel
Senior 
Dabei seit: 22.12.2003
Mitteilungen: 25548
Wohnort: Jena
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2017-01-27
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Hallo Sophie,
\quoteon(2017-01-27 19:12 - sophie92 im Themenstart)
aus der Bedingung das, dass [0,1] in der Vereinigung ist, folgt doch direkt, dass eine disjunkte Vereinigung ex. bzw. ein iIntervall, das [0,1] enthält, sodass dieses Intervall Teilmenge der ursprünglichen Vereinigung ist und damit auch die lLänge kleiner ist aber immernoch größer als eins :-?
\quoteoff
Beide Behauptungen stimmen nicht. Weder muss $[0,1]$ in einem der $I_i$ liegen, noch muss es eine Teilüberdeckung mit disjunkten Intervallen geben. (Aus topologischen Gründen gibt es überhaupt niemals eine Überdeckung von $[0,1]$ mit disjunkten, offenen Mengen)
Gegenbeispiel für beides: $[0,1] \subseteq (-0.1, 0.4) \cup (0.3,0.7) \cup (0.6, 1.1)$. Kein einzelnes Intervall dieser Familie überdeckt $[0,1]$. In der Tat kannst du gar kein Intervall weglassen; du brauchst alle drei, um $[0,1]$ zu überdecken, aber offenbar sind die Intervalle nicht disjunkt.
mfg Gockel.
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sophie92
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 30.10.2016
Mitteilungen: 35
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-01-27
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Danke für die schnelle Antwort :)
das war eigentlich auch nicht meine Behauptung, dass es eines der intervalle von der Familie seien muss, ich meinte damit man kann die intervalle aus der Familie zu einem offenen intervall basteln bzw in deinem bsp.:
(-0,1;1.1)
habe mich wohl etwas schlecht ausgedrückt entschudige...
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.3, eingetragen 2017-01-27
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\quoteon(2017-01-27 19:33 - sophie92 in Beitrag No. 2)
Danke für die schnelle Antwort :)
dDas war eigentlich auch nicht meine Behauptung, dass es eines der iIntervalle von der Familie seien muss, ich meinte damit, man kann die iIntervalle aus der Familie zu einem offenen iIntervall basteln bzw. in deinem bBsp.:
(-0,1;1.1)
hHabe mich wohl etwas schlecht ausgedrückt, entschudige...
\quoteoff
:-P
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sophie92
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 30.10.2016
Mitteilungen: 35
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-01-27
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mit dijunkter Vereinigung meinte ich auch nicht zwingend eine offene vereinigung... dachte da an so eine konstruktion wie
I_1=:J_1; ....; I_k ohne union(I_i,i=1,k-1)=:J_k
und dann die vereinigung aller J_i
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
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luidor
Aktiv 
Dabei seit: 08.03.2014
Mitteilungen: 78
| Beitrag No.5, eingetragen 2017-01-28
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Hallo Sophie,
vielleicht hilft folgende Überlegung weiter:
Aus $[0,1]\subset \bigcup_{i=1}^{\infty} I_i$ folgt ja insbesondere, dass $0,1\in\bigcup_{i=1}^{\infty} I_i$.
Es gibt in der Vereinigung also ein offenes Intervall, dass die 0 enthält, und eines das die 1 enthält. Was kann man denn über die offenen Intervalle sagen?
MfG,
Luidor
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sophie92
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 30.10.2016
Mitteilungen: 35
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-01-28
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danke für den Tipp :)
leider sehe ich nicht worauf das hinauslaufen soll :-?
für die offenen intervalle gilt dass es ein k gibt mit: (1-1/k;1+1/k)
ist Teilmenge des intervalls aber das ist wohl nicht was du meintest oder?
kannst du mir vllt auch noch erklären warum meine obige aussage nicht korrekt ist?
LG :)
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sophie92
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 30.10.2016
Mitteilungen: 35
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2017-01-28
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ich seh nicht wo mein fehler in meiner denkweise liegt oder worauf es bei der Aufgabe so viel punkte geben soll :/
folgt denn jetzt nicht wie schon gesagt dass
es ein \epsilon > 0 geben muss sodass (0-\epsilon,1+\epsilon) \subsetequal\ von der Vereinigung der Intervalle
und wenn man sagt dass die länge von disjunkten intervallen gegeben ist durch die länge des 1. intervalls + die länge des 2. intervalls
( oder darf man das nicht einfach definieren?)
folgt doch dass sum(abs(I_k),k=1,\inf ) >= abs(union(I_i,i=1,\inf ))>= abs((0-\epsilon,1+\epsilon)) > 1
aber warum steht dann im Hinweis dass man das erst für endliche Familien zeigen soll
oder soll ich irgendwie noch sowas zeigen erst dass I->abs(I) ein maß oder sowas ähnliches ist auf menge der Intervallen ? :P
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sophie92
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 30.10.2016
Mitteilungen: 35
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-01-29
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Gockel
Senior
Dabei seit: 22.12.2003
Mitteilungen: 25548
Wohnort: Jena
| Beitrag No.9, eingetragen 2017-01-29
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Hi Sophie.
Die Ungleichung $\sum |I_i| \geq |\bigcup_i I_i|$ ist einer der Kernpunkte der Sache. Die solltest du beweisen, statt einfach vorauszusetzen.
Beachte außerdem, dass $\bigcup I_i$ nicht zwangsläufig ein Intervall zu sein braucht, sodass es nichttrivial ist, von der "Länge" zu reden. Dasselbe passiert, wenn du diesen Ansatz
\quoteon(2017-01-27 19:42 - sophie92 in Beitrag No. 4)
mit dijunkter Vereinigung meinte ich auch nicht zwingend eine offene vereinigung... dachte da an so eine konstruktion wie
I_1=:J_1; ....; I_k ohne union(I_i,i=1,k-1)=:J_k
und dann die vereinigung aller J_i
\quoteoff
verfolgst, denn die Mengen $J_i$ sind dann zwar disjunkt, müssen aber keine Intervalle sein.
Es ist möglich, für alle diese Mengen eine Länge anzugeben, aber es ist nichttrivial. Am Ende wird diese Art von Überlegungen zum Konzept des Lebesgue-Maß führen, das die richtige Formulierung des Konzepts "Länge" (oder allgemeiner: d-dimensionales Volumen für $d\in\IN$) liefert, mit dem sich diese und viele andere ähnliche Aufgaben auf natürliche Weise lösen lassen.
mfg Gockel.
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sophie92
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 30.10.2016
Mitteilungen: 35
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2017-01-29
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alles klar vielen dank für die Antwort :)
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| sophie92 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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