| |
| Autor |
 Analytische Fortsetzung im Rahmen der Laplacetransformation |
|
hakuna_mamatha
Junior 
Dabei seit: 22.02.2016
Mitteilungen: 15
 |  Themenstart: 2017-01-27
|
Guten Abend, ich habe eine Verständnisfrage zur Laplacetransformation. Die analytische Fortsetzung hatte ich schon in der Vorlesung nicht so ganz verstanden, und ich würde gerne wissen ob mein Gedankengang soweit richtig ist, oder ob ich mir das nur einbilde.
Im Buch "Regelungstechnik 1" von Jan Lunze steht geschrieben:
"Die Laplacetransformierte F(s) ist in der Konvergenzhalbebene eine reguläre [holomorphe?] Funktion, die in eine Potenzreihe entwickelt werden kann. Sie kann deshalb über die Konvergenzebene hinaus in den verbleibenden Teil der komplexen Ebene analytisch fortgesetzt werden, d.h., die Funktion ist außerhalb der Konvergenzhalbebene eindeutig durch die Funktion innerhalb der Konvergenzhalbebene festgelegt. Beispielsweise konvergiert das Laplaceintegral der Funktion e^at nur für Re(s) > a. Die Laplacetransformierte 1/(s-a) kann aber mit Ausnahme von s = a auch für Re(s) < a für alle Rechnung verwendet werden." (S. 164/165)
Ich habe den Ansatz jetzt so verstanden: F(s) ist für Re(s)>a holomorph ===> F(s) ist in im Konvergenzgebiet unendlich oft differenzierbar ==> F(s) kann innerhalb des Konvergenzgebietes als eine Taylor-Reihe aufgeschrieben werden. Wenn man nun in die Talylorreihe Werte aus der linken Halbebene einsetzt, kommen sinnvolle Werte raus
Ist das so richtig?
Grüße
|
 Profil
|
Gockel
Senior 
Dabei seit: 22.12.2003
Mitteilungen: 25548
Wohnort: Jena
 | Beitrag No.1, eingetragen 2017-01-27
|
Hi.
Nein, das ist leider nicht richtig.
1. Ja, aus Holomorphie folgt u.A., dass die Funktion unendlich oft differenzierbar ist. Und ja, daraus wiederum folgt, dass du eine Taylorreihe hinschreiben kannst. Aber aus unendlichfacher Differenzierbarkeit alleine folgt nicht, dass die Taylorreihe konvergiert oder dass sie dort, wo sie konvergiert, mit der ursprünglichen Funktion übereinstimmt!
Für diese spezielle Aussage brauchst du wirklich die stärkere Annahme, dass es sich um eine holomorphe Funktion handelt. Dann kannst du sagen, dass die Taylorreihe für jeden Entwicklungspunktes positiven Konvergenzradius hat und innerhalb dessen mit der Funktion übereinstimmt.
2. Man kann sogar mehr sagen: Der Konvergenzradius der Taylorreihe kann verstanden werden als der Abstand vom Entwicklungspunkt zur dichtesten nicht-hebbaren Singularität der Funktion, d.h. der Konvergenzradius ist in diesem Sinne maximal.
3. Aber das heißt nicht, dass der Konvergenzradius unbedingt unendlich ist, d.h. dass es überhaupt keine Singularitäten gibt. Insbesondere ist die Aussage falsch, dass sich holomorphe Funktionen auf einer Halbebene immer auf den Rest der Ebene fortsetzen ließen. Und eigentlich zeigt das das Beispiel im Text ja auch. Es gibt keine holomorphe Fortsetzung von $s\mapsto \frac{1}{s-a}$ auf ganz $\IC$, bei $\IC\setminus\{a\}$ ist wirklich Schluss. Und mehr noch: Es gibt Funktionen, die gar nicht über ihre Halbebene hinaus fortgesetzt werden können, die also überall auf (oder zumindest an hinreichend vielen Punkten) der Grenzgeraden Singularitäten haben. Also nicht einmal "ein bisschen fortsetzen" ist im Allgemeinen möglich! Warum dein Buch das glaubt, ist mir ein Rätsel.
Allerhöchstens ist "Für viele uns bekannten Funktionen ist es möglich, auf einen großen Teil der komplexen Ebene holomorph fortzusetzen." richtig.
mfg Gockel.
|
Profil
|
hakuna_mamatha
Junior
Dabei seit: 22.02.2016
Mitteilungen: 15
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-01-27
|
Hallo Gockel, danke für die schnelle und präzise Antwort! :-)
Man muss aber fairerweise sagen, dass man sich in der Regelungstechnik meist nur mit gebrochen-rationalen Funktionen beschäftigt, deren Koeffizienten reell sind. Manchmal ist noch ein Totzeitglied dabei, aber nicht immer. Also die Funktionen sind eigentlich immer der Form:
$ \displaystyle G(s) = \frac {b_m*s^m+...+b_1*s+b_0} {a_n*s^n+...+a_1*s+a_0} \cdot e^{st_T}$ mit $m \le n \\ b_i,a_i \in \mathbb{R}, s \in \mathbb{C}$
Gilt für diese Art von Funktionen vielleicht irgendein Spezialfall?
Grüße
|
Profil
|
Gockel
Senior
Dabei seit: 22.12.2003
Mitteilungen: 25548
Wohnort: Jena
| Beitrag No.3, eingetragen 2017-01-27
|
Ja, auf diese Funktionen trifft tatsächlich zu, dass man ihre Laplace-Transformierten auf große Teile der Ebene fortsetzen kann. Das ist aber kein allgemeines Prinzip, dem alle Funktionen unterliegen, sondern eine spezielle Eigenschaft dieser speziellen Funktionen.
Das heißt der angedeutete Beweis ist immer noch Unfug. Der richtige Beweis ist explizites Ausrechnen der LT.
mfg Gockel.
|
Profil
|
hakuna_mamatha
Junior
Dabei seit: 22.02.2016
Mitteilungen: 15
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-01-28
|
Dankeschön für die Hilfe :-)
|
Profil
|
| hakuna_mamatha hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
