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Funktionentheorie » Holomorphie » Funktionentheorie - keine holomorphe Funktion mit (f(z))^2=z
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Universität/Hochschule Funktionentheorie - keine holomorphe Funktion mit (f(z))^2=z
tt94
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  Themenstart: 2017-01-29

Ich muss für mein Analysis III Modul einen Beweis aufstellen, habe leider keinen Ansatz und würde es gerne verstehen. Wenn jemand Tipps oder Ideen hat, würde ich mich sehr freuen. Mit Hilfe des Identitätssatzes für Potenzreihen zeigen, dass es keine in C holomorphe Funktionen f=f(z) gibt mit (f(z))^2=z für alle z∈C

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dromedar
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  Beitrag No.1, eingetragen 2017-01-29

Hallo tt94, willkommen im Forum. \quoteon(2017-01-29 00:16 - tt94 im Themenstart) Mit Hilfe des Identitätssatzes für Potenzreihen zeigen, dass es keine in C holomorphe Funktionen f=f(z) gibt mit (f(z))^2=z für alle z∈C \quoteoff Nach den Voraussetzungen wäre $f$ in eine Potenzreihe um 0 entwickelbar. Damit wäre auch $f^2$ eine Potenzreihe um 0. Damit hast Du einen Ansatzpunkt für den Identitätssatz. Grüße, dromedar

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tt94
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-01-29

Vielen Dank Dromedar! schreibe ich dann ∑a(n)*(z-c)^n und dann das ganze noch mal quadriert oder wie kann ich das entwickeln? Ich habe ja keine Funktion... Und für f^2 muss ich dann etwas anderes bekommen als z, damit ich es bewiesen habe oder? Entschuldige bitte die etwas dummen Fragen, mit Beweisen kenne ich mich leider noch nicht so gut aus...

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dromedar
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  Beitrag No.3, eingetragen 2017-01-29

\quoteon(2017-01-29 15:20 - tt94 in Beitrag No. 2) schreibe ich dann ∑a(n)*(z-c)^n [...] \quoteoff Ja, wobei Du als Entwicklungspunkt $c=0$ wählen solltest. \quoteon(2017-01-29 15:20 - tt94 in Beitrag No. 2) [...] und dann das ganze noch mal quadriert oder wie kann ich das entwickeln? \quoteoff Ja. Dir ist doch sicher schon mal die Multiplikation von Potenzreihen mittels Cauchy-Produkt begegegnet. \quoteon(2017-01-29 15:20 - tt94 in Beitrag No. 2) Und für f^2 muss ich dann etwas anderes bekommen als z, damit ich es bewiesen habe oder? \quoteoff Ja.

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tt94
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-01-29

Ja die Multiplikation kenne ich, d.h. ich habe dann die quadrierte reihe als c(n) = (a(n))^2 = ∑(∑a(n)*a(n-k))*z^n Wie gehe ich jetzt weiter vor? Wie komme ich von da auf ein Ergebnis ungleich z?

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Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
dromedar
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  Beitrag No.5, eingetragen 2017-01-30

\quoteon(2017-01-29 18:37 - tt94 in Beitrag No. 4) Wie gehe ich jetzt weiter vor? \quoteoff Schreibe die Reihe für $f^2$ auf und vergleiche die Koeffizienten mit der Reihe, die nur aus $z$ besteht.

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