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Universität/Hochschule Lineare Dgl zweiter Ordnung
Polar_regen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-02-06


Hallo :-)

Ich habe folgendes AWP:

<math>y""=-y</math> mit <math>y(0)=1, y"(0)=0</math>


Die Lösung des AWP lautet:<math>\varphi(t)=cos(t)</math>

Jetzt ist meine Frage, ob man das iwie ausrechnen kann, warum da cos(t) rauskomt oder ob man sich einfach überlegt, welche zweifache Ableitung die negation der Funktion ergibt?

Allgemeiner lautet die Lösung:
 <math>\varphi(t)= \eta_0cos(t)+\eta_1sin(t)</math>

Hier verstehe ich jetzt nicht, warum hier eine Addition steht...

Mal angenommen die Regel lautet:

<math>\varphi(t)= \eta_0 \cdot \varphi(t) + \eta_1 \varphi"(t)</math>


Wo finde ich diese Regel?

GlG



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freeclimb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-02-06


Hallo!

Das löst man ganz normal mit dem Ansatz <math>y=e^{\lambda x}</math>.

mfg


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Die Beherrschung der Arithmetik, Herr Kollege, ist keine Frage der Überheblichkeit, hätte ich gedacht.

(A.v.d.B.)



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lula
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2017-02-06


Hallo

1. du weisst dass (Asin(x)''=-Asin(x) und dasselbe für cos
wenn eine lineare homogene Dgl  Lösungen g(x) und f(x) hat, dann auch die Lösung f+g
 da ja für beide gilt f''+f=0 und g''+g=0 gilt auch (f+g)''+(f+g)=0
und ja, du musst dein Wissen über cos und sin einsetzen um auf die Lösung zu kommen
Gruß lula


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Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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Polar_regen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-06


Hallo ihr Beiden,


also ich habe herausgefunden, dass ich das über eine Iteration lösen soll.

Und zwar gilt:

<math>F(t,y_1,y_2)= \begin{pmatrix} y_2 \\ y_1 \end{pmatrix}</math>

Startwert: <math>\Phi_0= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

und mit Rekursion: <math>\Phi_{n+1}(t)= \Phi_0 +\int\limits_{t_0}^{t} F(s, \Phi_n(s)) ds</math>

 <math>\Phi_0= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math>
 <math>\Phi_{1}(t)= \Phi_0 +\int\limits_{t_0}^{t} F(s, \Phi_0(s)) ds= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \int\limits_0^t  \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} ds
=  \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0 \\ -t \end{pmatrix}
=  \begin{pmatrix} 1 \\ -t \end{pmatrix} </math>



<math>\Phi_2(t)= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \int\limits_0^t \begin{pmatrix} -s \\ -1 \end{pmatrix} ds =\begin{pmatrix} 1- \frac{1}{2}t^2 \\ -t \end{pmatrix} </math>



Bei <math>\Phi_2</math> ist ja der Zweite Eintrag des Vektors die Ableitung des ersten Eintrags, genauso bei <math>\Phi_0</math>

Warum ist das denn bei <math>\Phi_2</math> nicht der Fall?


Jetzt sehe ich ja, dass das dann auch durch die Reihenentwicklung <math>(\Phi_{n-1})_1(t)= \sum\limits_{k=0}^n (-1)^k \frac{t^{2k}}{(2k)!}</math> angegeben werden kann und das ist nun mal der cosinus

Weiß jmd, warum da im Index noch die 1 steht? <math>(\Phi_{n-1})_1(t)</math>

GlG



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haerter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-02-08


Hallo,

die Eins steht da, weil es nur die erste Komponente des Vektors <math>\Phi_{n-1}</math> ist 😉

Gruß,
haerter


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"The best way to have a good idea is to have lots of ideas."
 - Linus Pauling



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