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| Autor |
 Lebesgue-Maß |
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omri
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 31.10.2015
Mitteilungen: 41
 |  Themenstart: 2017-02-07
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Guten Abend
Ich hatte Mühe folgende Aufgabe zu lösen:
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/44150_Gebiet.jpg.
Ich habe es mit dem Transformationssatz versucht indem ich:
u=(x/a)^3 v=(y/b)^3
definiert habe, damit das Gebiet Kreisförmig wird (betreffend Koordinaten v und u)
Anschliessend, habe ich die Jakobideterminante ausgerechnet. Somit kam ich auf folgendes Integral:
int(9/ab*x^2*y^2,xdy)
Schlussendlich habe ich Polarkoordinaten verwendet:
int(r^5,r,0,1) int(sin^2*cos^2,t,0,2Pi)
Dies Gab mir das Resultat: A=9/(24a^3*b^3)*\pi
Nun lautet meine Frage:
Kann ich dies so machen? Ich war bei den einzelnen Schritten sehr unsicher und kann auch nicht überprüfen ob meine Lösung stimmt. Gibt es eine einfachere Methode?
Vielen Dank für eure Hilfe!
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 Profil
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Kampfpudel
Senior 
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 2024
| Beitrag No.1, eingetragen 2017-02-08
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Hey omri,
das Vorgehen an sich ist das richtige und einen einfacheren Weg gibt es wohl nicht.
Zunächst mal: bei der Definition von $u$ und $v$ sollte es wohl hoch $\frac{1}{3}$ statt hoch $3$ heißen, deinen weiteren Rechnungen entnehme ich aber, dass das hier bloß ein Tippfehler war.
Nun, wenn man sich unsicher ist, hilft es oft, alle Argumente und Ausführungen ganz genau hinzuschreiben (das fördert auch das grundsätzliche Verständnis ungemein).
Etwa bei der ersten Transformation. Ich nenne die Transformationsabbildung mal $g$. Wir sind uns denke ich einig, dass die Abbildungsvorschrift für das $g$ lauten muss:
$g(u,v)= (au^3, bv^3)$.
Wie lautet jetzt die Menge $K \subset \mathbb{R}^2$, sodass $g(K)=A$? Es ist NICHT der ganze(!) Kreis mit Radius $1$ (beachte die in der Menge $A$ an $x$ und $y$ geforderte Bedingung $x,y >0$).
Wie kommen bei dir eigentlich $a$ und $b$ in den Nenner, und wo kommt das hoch $3$ in dem Endresultat her?
Versuch deine Rechnung mal ganz präzise aufzuschreiben, gerne auch hier, denn oft steckt der Teufel im Detail
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Profil
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omri
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 31.10.2015
Mitteilungen: 41
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-08
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Besten Dank Kampfpudel für deine ausführliche Antwort.
Ich versuche mich nochmal an der Aufgabe, ich habe bemerkt, dass sich einige Fehler eingeschlichen haben:
Also ich definiere: u=(x/a)^(1/3) v=(y/b)^(1/3)
Und somit: x=au^3 und y=bv^3
Und daraus folgt für die Jakobideterminante (indem ich x bzw. y nach u bzw. v ableite): DetJ=9abu^2*v^2
Das Gebiet K sollte demnach so aussehen:
K=menge((u,v)\el\ \IR^2|u>0, v>0, u^2+v^2<=1)
Und du hast vollkommen recht, das Gebiet ist lediglich der Halbkreis. Da ja sowohl x als auch y positiv sind, folgt, dass auch u und v positiv sind. Daraus folgt, dass im Integral lediglich von 0 bis Pi integriert werden muss:
Somit sieht das Integral (über dem Gebiet K und mit Berechnung mittels Polarkoordinate) schlussendlich wiefolgt aus:
int(1,xdy,A)=int(9ab*u^2*v^2,udv,K)=int(r^5,r,0,1)*int(sin^2*cos^2,t,0,Pi)
Ist dies nun so korrekt, oder habe ich noch weitere Fehler nicht bemerkt?
Vielen Dank!
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Kampfpudel
Senior
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 2024
| Beitrag No.3, eingetragen 2017-02-09
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Hey,
dein $K$ ist auch kein Halbkreis, es ist ein Viertelkreis, nämlich der Teil des Kreises im ersten Quadranten. Entsprechend integrierst du den Winkel nur bis $\frac{\pi}{2}$.
Und hinter dem letzten Gleichheitszeichen fehlt natürlich noch das $9ab$ :)
Also tatsächlich sind es nur Kleinigkeiten die gefehlt haben, sonst sieht es gut aus
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omri
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 31.10.2015
Mitteilungen: 41
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-09
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Du hast vollkommen recht. Vielen Dank für deine Hilfe!
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| omri hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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