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  Lebesgue-Mass L2 einer eindimensionalen Menge |
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omri
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 31.10.2015
Mitteilungen: 41
 |  Themenstart: 2017-02-10
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Hallo zusammen
Ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:
Es sei A=menge((x,0)|x\el\ intervall(0,1)) \subset\ \IR^2 und L^2 das Lebesgue-Mass auf \IR^2. Bestimmen Sie L^2(A)
Meiner Meinung nach muss das Mass von A gleich 0 sein, da die Menge keine "Fläche" ist und somit eine L2-Nullmenge ist. Jedoch fällt es mir schwer dies formell zu zeigen, da die Menge trotz allem überabzählbar viele Elemente besitzt.
Hat mir jemand einen Ansatz wie ich meine Vermutung beweisen kann?
Besten Dank!
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Akira_L
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 27.02.2016
Mitteilungen: 61
| Beitrag No.1, eingetragen 2017-02-10
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Hallo,
wie habt ihr Nullmengen definiert und welche Charakterisierungen von NM kennst du? Da gibt's doch so ein Kriterum mit nem Epsilon.
LG Akira_L
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omri
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 31.10.2015
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-10
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Hey
Wir haben Nullmengen wiefolgt definiert:
Sei X eine beliebige Menge und\mue ein äusseres Mass auf X. Eine \mue-messbare Menge A\subsetequal\ X heisst Nullmenge, falls \mue(A)=0
Und dies ist äquivalent zu:
\forall\ \epsilon>0 \exists\ (a_i,b_i)_(i\el\ \IN) so dass
i) A\subsetequal\ \union\ (a_i, b_i)
ii)\Sigma((b_i-a_i)<\epsilon
Danke!
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StrgAltEntf
Senior 
Dabei seit: 19.01.2013
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Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.3, eingetragen 2017-02-10
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Hallo omri,
du darfst die Rechtecke nicht alle gleichgroß wählen. Sonst wäre die Summe der Volumina unendlich. "Nach außen hin" müssen die Rechtecke immer kleiner werden aber doch noch ganz A berdecken.
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Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9807
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.4, eingetragen 2017-02-10
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Hallo,
deine Definition von "Nullmenge" klappt nur für Teilmengen von $\mathbb{R}$ mit dem Lebesgue-Maß.
Bestimmt findest du noch eine allgemeinere Definition.
Wally
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omri
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-11
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Hallo zusammen Danke für eure Hilfe
An StrgAltEntf: Also meinst du mithilfe einer konvergenten Reihe arbeiten?
An Wally: Nein leider nicht die allgemeinste Version die ich habe ist: Sei X eine beliebige Menge und \mue ein äusseres Mass auf X. Eine mü-messbare Menge A\subsetequal\ X heisst Nullmenge wenn \mue(A)=0.
Aber diese ist leider nicht so "handlich" zum benutzen..
Habe ich mit meiner Vermutung überhaupt recht, dass es eine Nullmenge bezüglich dem L2-Mass ist?
Danke!
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Akira_L
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| Beitrag No.6, eingetragen 2017-02-11
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Hi,
Ja das ist richtig, dass es eine Nullmenge ist. Man kann Nullmengen auch folgendermaßen definieren (Das ist die Verallgemeinerung von deiner Definition, diese gilt nur für $\mathbb{R}^{1}$):
Für alle $\eps>0$ existiert eine Quaderfolge $(Q_{i})$, sodass $A\subset \bigcup_{i=1}^\infty {Q_i}$ und $\sum_{i =1}^\infty vol(Q_i) <\eps$.
So habe ich das zumindest gelernt. Ansonsten ist ja das Maß einer Menge das entsprechende Integral über die charakteristische Funktion. Wenn du darüber die Aussage beweisen musst, dann muss man über aufsteigende Treppenfunktionen argumentieren.
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StrgAltEntf
Senior
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| Beitrag No.7, eingetragen 2017-02-11
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\quoteon(2017-02-11 18:57 - omri in Beitrag No. 5)
An StrgAltEntf: Also meinst du mithilfe einer konvergenten Reihe arbeiten?
\quoteoff
Genau! Wähle Rechtecke $R_1,R_2,R_3,...,R_n,...$ der Breite 1 und Höhe $\frac{1}{2^n}$, sodass A in der Vereinigung der Rechtecke enthalten ist.
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dromedar
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 | Beitrag No.8, eingetragen 2017-02-11
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\quoteon(2017-02-11 21:27 - StrgAltEntf in Beitrag No. 7)
Wähle Rechtecke $R_1,R_2,R_3,...,R_n,...$ der Breite 1 und Höhe $\frac{1}{2^n}$, sodass A in der Vereinigung der Rechtecke enthalten ist.
\quoteoff
Kann man, wenn man das Lebesgue-Maß eines Rechtecks berechnen kann, nicht gleich ausnutzen, dass $A=[0,1]\times[0,0]$ ein Rechteck ist?
Grüße,
dromedar
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StrgAltEntf
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| Beitrag No.9, eingetragen 2017-02-11
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Das wäre aber etwas einfach :-o
Laut Beitrag #2 dachte ich, dass es offene Rechtecke sein müssen.
(Außerdem meinte ich, dass die Rechtecke eine Höhe von $\frac\varepsilon{2^n}$ haben sollen.)
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dromedar
Senior
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| Beitrag No.10, eingetragen 2017-02-11
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\quoteon(2017-02-11 22:55 - StrgAltEntf in Beitrag No. 9)
Laut Beitrag #2 dachte ich, dass es offene Rechtecke sein müssen.
\quoteoff
Wenn es offene Rechtecke sein müssen, können wir $(-1,2)\times(-\varepsilon,\varepsilon)\supset A$ nehmen. Aber warum sollte man mehr als ein Rechteck nehmen?
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StrgAltEntf
Senior
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| Beitrag No.11, eingetragen 2017-02-11
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Weil ich die Aufgabe nicht richtig gelesen habe. :-o
Ich dachte, es geht um die ganze x1-Achse. Okay, Schuster, bleib bei deinen leisten!
Grüße
StrgAltEntf
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2023-11-28 15:46 ?
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