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Analysis » Maßtheorie » Aufgabe zu Satz von Radon-Nikodym
Autor
Universität/Hochschule J Aufgabe zu Satz von Radon-Nikodym
Ehemaliges_Mitglied
  Themenstart: 2017-02-11

Hallo, die Aufgabe lautet: Seien $u, v$ endliche Maße auf dem messbaren Raum $(X,\mathscr{A})$ mit $u\ll v \land v\ll u$. Zeigen Sie, dass $0<\frac{dv}{du}<\infty$ gilt $u$-f.ü., dabei bezeichnet $\frac{dv}{du}$ die Radon-Nikodym-Ableitung. Schreibe jetzt $f:=\frac{dv}{du}$. ($f:X\to [0,\infty]$ messbar) Die Ungleichheit $f<\infty$ folgt aus der Endlichkeit des Maßes $v$. Es bleibt also zu zeigen, dass $f$ strikt größer als 0 ist. Da habe ich leider keine passende Ansätze. Der Satz von Radon-Nikodym grantiert zunächst nur die Nicht-Negativität von solcher Ableitung $f$. Wenn $f\equiv 0 $ $u$-f.ü. wäre, würde dies nämlich zum Widerspruch der Voraussetzung $u\ll v \land v\ll u$ führen? Danke fürs Lesen und für den Hinweis! EDIT: Die fragliche Stelle sollte besser heißen: $u(\{f\equiv 0\})>0$.

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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-11

ok, ich glaube die Lösung zu haben. Setze $N:=\{f=0\}$. Aus $v\ll u$ folgt $v(N)=\int_Nfdu=0$. Da $u\ll v$, folgt aus $v(N)=0$ schon $u(N)=0$.

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Ehemaliges_Mitglied hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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