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Funktionentheorie » Holomorphie » Holomorphe Funktion im Bild einer glatten Kurve
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Universität/Hochschule Holomorphe Funktion im Bild einer glatten Kurve
Hernando
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Dabei seit: 08.03.2015
Mitteilungen: 44
  Themenstart: 2017-02-24

Seien f:\IC->\IC eine holomorphe Funktion und \gamma:\IR->\IC eine glatte Kurve, so dass f(\IC)\subsetequal\ \gamma(\IR). Ich muss zeigen, dass f konstant ist. Ich führe ein Widerspruchsbeweis durch, und als Hinweis ist gegeben, dass wenn f nicht konstant wäre, so würde ein z\el\ \IC existieren, wo die Jakobmatrix von f:\IR^2->\IR^2, f(x,y)=(u(x,y),v(x,y)) invertierbar wäre (also nicht Null Determinant hätte), und daher f lokal ein Diffeomorphismus wäre. Der Hinweis verstehe ich doch, denn weil f holomporh ist, hat die Jakobmatrix von f die Form J_f (x,y)=(a,-b;b,a), wobei a=u_x (x,y)= v_y (x,y) und b=v_x (x,y)=-u_y (x,y), und zwar in jedem Punkt (x,y)\el\ \IR^2. Hätte die Matrix J_f (x,y) Determinant Null in jedem Punkt, so würde gelten 0=a^2+b^2=>a=b=0=>u=konst und v=konst =>f=konst, im Widerspruch zur Annahme. Also, es muss ein z=(x_0, y_0) geben, wo det(J_f (x_0, y_0))!=0 gilt, und aus dem Umkehrsatz folgt, dass es offene Umgebungen U um z und V um f(z) gibt, so dass die Einschränkung f:U->V bijektiv ist, mit einer Inverse g:V->U, die (reell) differenzierbar ist. Insbesonder, es folgt dass das Bild \gamma(\IR) eine (nicht leere) offene Menge f(z)\el\ f(U)=V\subsetequal\ \gamma(\IR) enthält, und daher insbesonder einen offenen Ball (welcher positiven Lebesgue Mass in \IR^2 hat). Ist das schon ein Widerspruch???... Wenn, wie kann man begründen, dass das Bild einer (glatten) Kurve keinen nicht-leeren offenen Ball enthält?... Wenn diese noch nicht die Lösung ist, wie bekomme ich denn ein Widerspruch?... In einer vorherigen Aufgabe habe ich insebsonder gezeigt, dass die Inverse g:V->U holomorph ist, und vielleicht muss ich das verwenden...

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