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Funktionentheorie » Holomorphie » Holomorphes Polynom in z und z konjugiert
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Universität/Hochschule Holomorphes Polynom in z und z konjugiert
Hernando
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  Themenstart: 2017-02-24

Seien f:\IC->\IC eine holomorphe Funktion und n\el\ N_(>=0), C_j \el\ \IC, C_j!=0, k_j, m_j \el\ \IN_(>=0), j=0,...,n, so dass f(z)=sum(C_j z^(k_j) (z^-)^(m_j),j=0,n), \forall\ z\el\ \IC. Ich muss zeigen, dass m_j=0, \forall\ j=0,...,n, gelten muss, damit f tatsächlich homolorph ist. Ich weiss, dass die Abbildung g:\IC->\IC, g(z)=z^- nicht holomorph ist, denn sie ist nirgendwo komplex differenzierbar, was z.B mit Hilfe der Cauchy-Riemann Gleichungen zeigen kann, oder auch direkt mit der Definition von complex- Differenzierbarkeit. Nun, diese Aufgabe ist eine Verallgemeinerung. Wie könnte man das am einfachsten zeigen?.... Der Weg durch die Cauchy Riemann Gleichungen scheint in diesem Fall etwa mühsam zu sein, denn man müsste zuerst den Reelteil und den Imaginärteil von f explizit berechnen...

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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2017-02-24

Die $(k_j,m_j)$ müssen paarweise verschieden vorausgesetzt werden. Ansonsten nehme man so etwas wie $f(z) = 1 \cdot z \overline{z} + (-1) \cdot z \overline{z}$.

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