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  Sigma-endlich, Bildmaß, messbare Abbildung |
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PrinzessinEinhorn
Senior 
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2625
 |  Themenstart: 2017-02-28
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Hallo,
ich bearbeite gerade folgende Aufgabe:
Es seien $(\Omega,\mathcal{M},\mu)$ ein Maßraum, $(\Omega',\mathcal{M}')$ ein messbarer Raum und $T:\Omega\to\Omega'$ eine $\mathcal{M}$-$\mathcal{M}'$-messbare Abbildung.
Zur Notatoin: $\mu^T$ bezeichnet das Bildmaß von $\mu$.
Prüfen Sie die Gültigkeit folgender Implikationen:
a) $\mu$ ist $\sigma$-endlich $\Rightarrow\quad \mu^T$ ist $\sigma$-endlich.
b) $\mu^T$ ist $\sigma$-endlich $\Rightarrow\quad \mu$ ist $\sigma$-endlich.
Ich denke, dass a) nicht stimmt und b) korrekt ist.
Zu b)
Sei $\mu^T\quad$ $\sigma-endlich$. Zeige: $\mu$ ist $\sigma$-endlich.
Also es gibt eine aufsteigende Folge von Mengen $\Omega'_1, \Omega'_2,\dotso$ aus $\mathcal{M}'$ so, dass
$\bigcup_{n\geq 1} \Omega'_n=\Omega'$ und $\mu^T(\Omega'_n)<\infty$ für alle $n\geq 1$.
Da $\mu^T\quad$ $\sigma$-endlich gibt es also $\Omega'_n$ wie oben.
Es ist also
$T^{-1}(\Omega')=T^{-1}(\bigcup_{n\geq 1}\Omega_n)=\bigcup_{n\geq 1} \underbrace{T^{-1}(\Omega'_n)}_{\text{messbar}}=\Omega$
Womit wir eine Folge solcher Mengen gefunden hätten.
Bleibt zu zeigen, dass diese aufsteigend sind.
Das ist aber leicht einzusehen, dass für $\Omega'_i\subseteq\Omega'_{i+1}$ auch $T^{-1}(\Omega'_i)\subseteq T^{-1}(\Omega'_{i+1})$ gilt.
Damit wäre die Aussage also bewiesen.
zu a)
Wie gesagt gehe ich davon aus, dass dies nicht stimmt.
Doch wie könnte man es widerlegen. Eine Idee für ein Gegenbeispiel habe ich nicht.
Vielen Dank im voraus.
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Kampfpudel
Senior 
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 2024
 | Beitrag No.1, eingetragen 2017-02-28
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Hey PrinzessinEinhorn,
es ist schwer, einen vernünftigen Tipp zu geben, ohne viel zu viel zu verraten. Ich versuche es mal so:
Denk mal an die aller aller einfachste Art von Abbildungen, die dir einfällt.
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PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2625
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-28
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\quoteon
Denk mal an die aller aller einfachste Art von Abbildungen, die dir einfällt.
\quoteoff
Das wären die konstanten Abbildungen.
Wenn dann $\mu\quad \sigma$-endlich ist, dann kann $\mu^T$ nicht $\sigma$-endlich sein, denn es gibt im Bild keine aufsteigenden Mengenfolgen.
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Kampfpudel
Senior
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 2024
| Beitrag No.3, eingetragen 2017-02-28
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Die gibt es schon, nur es gibt keine aufsteigende Folge von Mengen $\Omega_i'$, die $\mu_T(\Omega_i')< \infty$ und $\cup\limits_{i=1}^{\infty} \Omega_i'=\Omega'$erfüllen, sofern man ein Beispiel wählt, wo $\mu(\Omega)= \infty$ gilt.
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PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2625
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-28
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Hast du ein solches Beispiel?
$\Omega=\mathbb{R}$ und das übliche Maß würden ja nicht funktionieren, da dies nicht $\sigma$-endlich ist.
Ein $\sigma$-endliches Maß mit dieser Eigenschaft fällt mir gerade, auf die schnelle, nicht ein.
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Kampfpudel
Senior
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 2024
| Beitrag No.5, eingetragen 2017-02-28
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Also du brauchst "nur" einen Maßraum $(\Omega,\mathcal{A}, \mu)$, der $\sigma$-endlich, aber nicht endlich ist.
Was ist denn für dich das "übliche Maß" auf $\Omega=\mathbb{R}$? Für mich wäre es das Lebesgue-Maß (mit Borelscher $\sigma$-Algebra), und das ist wohl das Paradebeispiel eines $\sigma$-endlichen Raumes, der nicht endlich ist.
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PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2625
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-02-28
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Ich hatte an das elementar Volumen gedacht...
Vielen Dank, jetzt ist alles klar.
:)
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PrinzessinEinhorn hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
PrinzessinEinhorn hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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