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  Aufgabe zu Singularitäten/Residuensatz |
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nabla
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 12.08.2016
Mitteilungen: 49
 |  Themenstart: 2017-03-01
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Hallo zusammen,
ich wollte euch mal meine Lösungen zu einer alten Klausuraufgabe vorstellen in der Hoffnung, dass mal jemand drüber schauen kann.
$\text{Es sei } f(z)= \frac{z-3}{z^2 (z+1)} \text{e}^{1/(z-3)}. \newline
\text{(a) Bestimmen Sie alle isolierten Singularitäten und klassifizieren Sie diese.} \newline
\text{(b) Geben Sie in allen Polen das Residuum an}.$
Meine Lösung
$\text{(a) Pol der Ordnung 1 bei } z_{1} = -1 \text{, da} (z+1)f(z) \text{ dann eine hebbare Lücke an der Stelle hat, sowie Pol der Ordnung 2} \newline \text{ bei } z_2= 0 \text{, da } z^2f(z) \text{ dann eine hebbare Lücke an der Stelle hat} \newline
\text{Außerdem eine wesentliche Singularität bei } z_3=3 \text{, da } \lim_\limits{z \rightarrow 3^-}} f(z) = 0 \text{ und } \lim_\limits{z \rightarrow 3^+}} f(z) = \infty.
\newline
\text{(b) Res}_f(-1) = \lim_{\limits{z \rightarrow -1}} (z+1)f(z) = -4\text{e}^{-1/4} \text{ und Res}_f(0) = \lim_{\limits{z \rightarrow 0}} \frac{\text{d}}{\text{d}z} z^2 f(z) = \frac{13}{3}e^{-\frac{1}{3}}.
$
Eventuell steckt irgendwo ein kleiner Rechenfehler drin. Meine Frage ist hauptsächlich, ob die Ansätze stimmen und ich richtig vorgegangen bin.
Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte.
LG
nabla
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dietmar0609
Senior 
Dabei seit: 29.06.2007
Mitteilungen: 3210
Wohnort: Oldenburg , Deutschland
 | Beitrag No.1, eingetragen 2017-03-01
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Überprüfe noch mal die Funktion f(z), ob da nicht ein Schreibfehler drin ist ..... (z+2) im Nenner sieht nicht richtig aus ....
Gruss Dietmar
die Klassifizierung der Singularitäten ist richtig, das Residuum bei x=-1 stimmt, wenn du für das Residuum für x=0 die Ableitung richtig gerechnet hast (habe nicht nachgerechnet), sollte das auch stimmen.
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nabla
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 12.08.2016
Mitteilungen: 49
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-01
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Super, vielen Dank!
Ja, da muss natürlich (z+1) im Nenner stehen :-)
LG
nabla
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nabla hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
nabla hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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