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Strukturen und Algebra » Ringe » Primideale im Ganzheitsring
Autor
Universität/Hochschule J Primideale im Ganzheitsring
Bai
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 11.09.2014
Mitteilungen: 1251
  Themenstart: 2017-03-04

Hi, zwei Fragen zum Beweis von Proposition 4.8 hier auf S.28. 1. Man meint schon, dass $\mathfrak p\cap\IZ$ ein Primideal in $\IZ$ ist, oder? Nicht im Ganzheitsring. Zumindest sehe ich dann nicht, weshalb nicht beispielsweise $\mathcal O_K=\IZ[\sqrt{-5}]$ mit $a^2-5b^2=(a+\sqrt{-5}b)(a-\sqrt{-5}b)$ ein Gegenbeispiel sein kann. 2. Wieso folgt dann aus der Ganzheitsgleichung $\mathfrak p\cap\IZ=(p)$? Ich verstehe dabei nicht, weshalb es daraus folgt und außerdem auch nicht, wozu die Ganzheitsgleichung benötigt wird, weil man die Primideale in $\IZ$ doch schon kennt.

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DavidM
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.06.2012
Mitteilungen: 396
  Beitrag No.1, eingetragen 2017-03-04

Hallo Bai, 1. Ja, da ist natürlich gemeint, dass das ein Primideal in $\mathbb{Z}$ ist. 2. Wir wissen an der Stelle ja schon, dass $ \mathfrak{p} \cap \mathbb{Z} $ ein Primideal. Was noch gezeigt werden muss, ist, dass es nicht das Nullideal ist und die Ganzheitsgleichung liefert eben genau die Aussage, dass $ a_n \in \mathfrak{p} \cap \mathbb{Z} $. Gruß, David

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Bai
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 11.09.2014
Mitteilungen: 1251
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-04

Danke für deine Antwort! \quoteon(2017-03-04 11:30 - DavidM in Beitrag No. 1) 2. Wir wissen an der Stelle ja schon, dass $ \mathfrak{p} \cap \mathbb{Z} $ ein Primideal. Was noch gezeigt werden muss, ist, dass es nicht das Nullideal ist und die Ganzheitsgleichung liefert eben genau die Aussage, dass $ a_n \in \mathfrak{p} \cap \mathbb{Z} $. \quoteoff Dann ist das also so gemeint, dass die Ganzheitsgleichung nur zeigt, dass es nicht das Nullideal ist, sodass man seine allgemeinen Kenntnisse über die Ideale in Z anwenden kann? Ich finde das sehr schlecht aufgeschrieben, aber gut. Dann weiß ich jetzt, was da passiert.

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