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Funktionentheorie » Holomorphie » holomorphe Funktion als Summe zweier Funktionen schreiben
Autor
Universität/Hochschule holomorphe Funktion als Summe zweier Funktionen schreiben
omri
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 31.10.2015
Mitteilungen: 41
  Themenstart: 2017-03-21

Hallo Ich brauche eure Hilfe Ich muss zeigen, dass sich jede holomorphe Funktion f als Summe der Quadrate zweier holomorpher Funktionen g,h schreiben lässt. Als Tipp bekamen wir, dass wir das folgende lineare Gleichungssystem lösen sollen: f=g+ih 1=g-ih Besten Dank

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ochen
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Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3806
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  Beitrag No.1, eingetragen 2017-03-21

Hi, stelle die untenstehenden Gleichungen nach $g$ und $h$ um, so dass die rechte Seite nur von $f $ abhängt. Es sei $f$ eine beliebige holomorphe Funktion. Finde (holomorphe) Funktionen $g$ und $h$ so, dass $\displaystyle f(x)=(g(x))^2+(h(x))^2 $ für alle komplexen Zahlen $x $ gilt.

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DerEinfaeltige
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Dabei seit: 11.02.2015
Mitteilungen: 3291
  Beitrag No.2, eingetragen 2017-03-21

Verstehst du den Ansatz nicht? Falls es das ist: Wir wollen die Funktion $f$ als Summe zweier Quadrate der holomorphen Funktionen $g,h$ schreiben. Idee: $f = g^2+h^2 = (g+ih)(g-ih)=f\cdot 1$ Eine mögliche Lösung besteht demnach in der Lösung des gegebenen LGS. [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

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omri
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 31.10.2015
Mitteilungen: 41
  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-21

Vielen Dank für die schnellen Antworten. Ich habe mich wahrscheinlich nicht klar genug ausgedrückt. Meine Frage lautet, wie man auf die beiden Gleichungen des Gleichungssystem kommt. Wie man es löst ist mir klar, jedoch wieso soll dies als Beweis gelten, wenn ich dazu einfach zwei vom Himmel gekommene Gleichungen benutze. Lange Rede kurzer Sinn: Woher kommen die beiden Gleichungen? (Es ist nicht notwendig um die Aufgabe zu beantworten, jedoch wichtig für mein Verständnis) Besten Dank :-)

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omri hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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