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Ingenieurwesen » Signale und Systeme » Übertragungsfunktion und Impulsantwort berechnen
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Universität/Hochschule J Übertragungsfunktion und Impulsantwort berechnen
Timi05
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  Themenstart: 2017-03-24

Hallo, ich komme leider an der folgenden Aufgabe nicht so ganz weiter, welche ich im Anhang hochgeladen habe. Gegeben ist bei der Aufgabe folgendes: x(t) = 0,5 rect (t-2T/(2T)) In 5.6 soll ich zunächst die Übertragunsfunktion berechnen. Hierbei bin ich mir aber nicht so ganz sicher, wie ich das mache. Ich weiß auf jeden Fall, dass Y(s) = H(s) * X(s) Y(s) ist gegeben, X(s) ist die Laplace-Transformiere von x(t). X(s) habe ich so berechnet, dass ich zunächst die Rechteckfunktion in eine Sprungfunktion umgewandelt habe, und dann in den Frequenzbereich transformiert habe. Dabei kam dann bei mir folgendes heraus. x(t) = 0,5 u(t) - 0,5 u(t-4T) Daraus habe ich für X(s) mit den Regeln zur Laplace-Transformation berechnet: X(s) = (1/2s) - (1/2s)*e^(jw4T) Meine Frage wäre also nun, ob X(s) soweit richtig berechnet wurde, und wie man dann anschließend vorgeht, um die Übertragungsfunktion zu bestimmen. H(s) wäre ja Y(s)/X(s) Anschließend sollte die Impulsantwort h(t) bestimmt werden, und später dann das Ausgangssignal y(t). Ich weiß wohl, das y(t) sich errechnet durch die Faltung von der Impulsantwort h(t) und x(t), allerdings bräuchte ich für diese Rechnung zunächst die Impulsantwort. Aber hier bin ich mir auch nicht so sicher. Muss man für h(t) einfach die Übertragungsfunktion H(s) in den Zeitbereich transformieren? Ich würde mich über eure Hilfe freuen! http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/47666_nr.5-tf.PNG


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rlk
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  Beitrag No.1, eingetragen 2017-03-24

Hallo Timi05, herzlich willkommen auf dem Matheplaneten! \quoteon(2017-03-24 17:56 - Timi05 im Themenstart) x(t) = 0,5 u(t) - 0,5 u(t-4T) Daraus habe ich für X(s) mit den Regeln zur Laplace-Transformation berechnet: X(s) = (1/2s) - (1/2s)*e^(jw4T) \quoteoff das stimmt, wenn Du den richtigen Wert (welchen?) für \j\omega einsetzt. Zur besser lesbaren Darstellung von Formeln gibt es hier auf dem Matheplaneten zwei Möglichkeiten: den Formeleditor Fed oder die auf dem Matheplaneten unterstützte Untermenge von $\LaTeX$. Deine Formel sieht dann so aus \ X(s) = (1/2s) - (1/2s)*e^(jw4T) Fed, Dein Text in zwischen \fedon\mixon und \fedoff $\displaystyle X(s) = (1/2s) - (1/2s)\cdot e^{jw4T}$ $\LaTeX$, geschwungene statt runden Klammern rundenum den Exponenten, \cdot statt * für das Multiplikationszeichen. Mt ein bisschen mehr Schreibaufwand sieht die Formel so aus: $\displaystyle X(s) = \frac{1}{2s}\left(1 - e^{j\omega 4T}\right)$ \quoteon(2017-03-24 17:56 - Timi05 im Themenstart) Meine Frage wäre also nun, ob X(s) soweit richtig berechnet wurde, und wie man dann anschließend vorgeht, um die Übertragungsfunktion zu bestimmen. H(s) wäre ja Y(s)/X(s) \quoteoff Das ist richtig. \quoteon(2017-03-24 17:56 - Timi05 im Themenstart) Anschließend sollte die Impulsantwort h(t) bestimmt werden, und später dann das Ausgangssignal y(t). Ich weiß wohl, das y(t) sich errechnet durch die Faltung von der Impulsantwort h(t) und x(t), allerdings bräuchte ich für diese Rechnung zunächst die Impulsantwort. Aber hier bin ich mir auch nicht so sicher. \quoteoff Das ist eine Möglichkeit, Du kannst auch $Y(s)$ zurücktransformieren. \quoteon(2017-03-24 17:56 - Timi05 im Themenstart) Muss man für h(t) einfach die Übertragungsfunktion H(s) in den Zeitbereich transformieren? \quoteoff Ja, so geht es. Servus, Roland


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Timi05
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-25

Danke für die Hilfe! Bei der Laplace-Transformierten habe ich aber einen Fehler gemacht oder nicht? Da der zweite Teil der Sprungfunktion nämlich um -4T verschoben ist, müsste X(s) am Ende mit e^-(jw4T) versehen sein, oder nicht? Wenn ich nun H(s) berechnen will, teile ich Y(s)/X(s) Dann würden sich ja die Ausdrücke 1-e^(-4*s*T) wegkürzen, sodass übrig bleibt: H(s) = 1-2T/(s*(1+T*s)) Ist das soweit richtig? Und wie mache ich dann weiter? Um nun die Impulsantwort h(t) zu bestimmen, muss ich ja H(s) in den Zeitbereich transformieren. Dazu hatten wir im Unterricht immer eine Tabelle, wo bereits fertige Transformationen für bestimmte Ausdrücke gegeben waren. Leider kann ich die Funktion H(s) in keinen dieser Ausdrücke quasi platzieren. Ich habe es erst versucht mit folgender Transformation: e^(-a*t)*u(t) = 1/(s+a) Leider kam ich damit nicht so ganz weiter, da ja im Nenner von H(s) zweimal das s auftaucht. Kann mir da jemand behilflich sein, das wäre nett :)


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rlk
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  Beitrag No.3, eingetragen 2017-03-26

\ Hallo Timi05, den Vorzeichenfehler im Exponenten hatte ich übersehen, ich hatte mich zu sehr auf \dsj\omega konzentriert. Dein Ergebnis für H(s) kann ich nicht nachvollziehen. Wie habt ihr die Funktion rect definiert? Aus X(s)=1/2s\.(1-exp(-4Ts) und Y(s)=1/(s(1+T_0\.s)) ergibt sich, mit T=T_0 \(ich vermute, dass Du den Index weggelassen hast) die gesuchte Übertragungsfunktion H(s)=Y(s)/X(s)=(array( 1 )\red^/ 2\black)/(2\red^/\black(1+T_0\.s) Für die Berechnung der Impulsantwort h(t)=\calL^(-1) H(s) kannst Du die Korrespondenz \calL (e^(-a*t)*u(t)) = 1/(s+a) verwenden. Ich hoffe, das hilft Dir, Roland


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Timi05
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-26

Danke für die Hilfe. Ich hätte jetzt noch eine letzte Frage zur Berechnung der Impulsantwort. Zunächst zur Übertragungsfunktion H(s): Man musste doch Y(s)/X(s) rechnen, sodass sich ergibt: 1/(s*(1+s*T)) : 1/2s Wenn man nun mit dem Kehrwert des Bruches multipliziert, kommt doch heraus: H(s)= 2/((1+s*T)) ..oder nicht? Jedenfalls hatte ich nun noch eine Unklarheit bei der Transformation dieser Funktion in den Zeitbereich, und zwar wusste ich nicht genau, wie ich das T vor dem s bei der Transformation berücksichtige. Mit deiner angegebenen Korrespondenz bekomme ich jetzt für die Funktion 2/((1+s*T)) als Transformierte heraus: h(t) = 2*(e^(-1*T*t))*u(t) Allerdings bin ich mir gerade nicht sicher, ob ich das T richtig eingesetzt habe. Ich bin so vorgegangen, dass die 2 im Zähler von H(s) das Vorzeichen für die e-Funktion ist, und gemäß der Korrespondenz ist a=1 dann entsprechend mit -1 versehen das Vorzeichen im Exponenten von h(t). Nur steht ja jetzt noch vor dem s, wenn man vom Grundausdruck 1/(s+a) ausgeht, das T. Ich habe dieses nun auch in den Exponenten von h(t) platziert, bin mir aber nicht sicher, ob das richtig ist. Könntest du mir noch kurz sagen, ob h(t) richtig ist, das würde mir sehr helfen. Achso, ja ich hatte den Index jetzt immer weggelassen.


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  Beitrag No.5, eingetragen 2017-03-26

Hallo Timi05, \quoteon(2017-03-26 11:27 - Timi05 in Beitrag No. 4) Danke für die Hilfe. \quoteoff bitte, gerne geschehen. \quoteon(2017-03-26 11:27 - Timi05 in Beitrag No. 4) 1/(s*(1+s*T)) : 1/2s Wenn man nun mit dem Kehrwert des Bruches multipliziert, kommt doch heraus: H(s)=2/((1+s*T)) \quoteoff Deine Übertragungsfunktion ist richtig, Du hast gut aufgepasst ;-) Es ist meistens besser, ganze Absätze im Fed-Modus zu schreiben, wie ich das im obigen Zitat getan habe. \quoteon(2017-03-26 11:27 - Timi05 in Beitrag No. 4) Jedenfalls hatte ich nun noch eine Unklarheit bei der Transformation dieser Funktion in den Zeitbereich, und zwar wusste ich nicht genau, wie ich das T vor dem s bei der Transformation berücksichtige. \quoteoff \ Dazu formst Du H(s) so um, dass Du einen Ausdruck der Form b*1/(s+a) erhältst, wegen der Linearität der Laplace\-Transformation gilt \calL^(-1) b*1/(s+a) = b * \calL^(-1) 1/(s+a) = b * exp(-a t) * u(t) Dein h(t) ist noch nicht richtig. Servus, Roland


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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-26

Ok, ich habe die Übertragungsfunktion nun folgendermaßen umgeformt: 2/((T*s+1)) = 2*(1/(T*(s+1/T))) Damit wäre dann a=1/T Außerdem würde ich dann den Funktion mit T multiplizieren, um das T aus dem Nenner wegzubekommen. Daraus würde dann folgen: H(s) = 2T/(s+1/T) Und dann wäre h(t) gemäß der Korrespondenz: h(t) = 2T*e^(-t/T)*u(t) Ist das so richtig?


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  Beitrag No.7, eingetragen 2017-03-26

\ Hallo Timi05, a=1/T ist richtig. Die Multiplikation mit T ist nicht notwendig und sie würde auch den Nenner 2 liefern, nicht 2T. H(s)=2/T*1/(s+1/T) Wie sieht die Impulsantwort h(t) daher aus? Servus, Roland


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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-27

Danke für die Hilfe nochmal. Dann ist h(t) (2/T)*e^(-t/T)*u(t)


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Hallo Timi05, ja, das ist richtig. Gute Nacht, Roland


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Danke für die Hilfe!


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