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  Binomialverteilung |
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Cauchy
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 10.07.2015
Mitteilungen: 110
 |  Themenstart: 2017-03-29
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Hallo Forum-Mitglieder,
ich habe hier eine Aufgabe bezüglich Binomailverteilungen bei der ich wirklich nicht weiter weiß!
Eine Fluggesellschaft setzt für Flüge von Köln nach Sumrum Flugzeuge mit 190 Plätzen ein. Das Management der Fluggesellschaft weiß aus Erfahrung, dass nur etwa 96% aller gebuchten Plätez tatsächlich belegt werden. Aus diesem Grunde werden bei vielen Flügen mehr als 190 Tickets verkauft. Dieser Sachverhalt weird mit "Überbuchung" bezeichnet. Überbuchungen können zur Abweisung von Fluggästen führen, sodass diese ihren Flug nicht natreten können. Dadruch entstehen der Fliggesellschaft durch Entschädigungsleistungen Kosten von jeweils 250€ pro Fluggast. Ein Ticket kostet 80€ - unabhängig davon, ob der Flug tatsächlich angetreten wird oder nicht.
Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Überbuchung um 5 Plätze gewinnbringend ist.
Zusatz: Das Management der Fluggesellschaft geht davon aus, dass die Wahrscheinlicheit für das Nichtantreten des Fluges 4 % beträgt. Im Folgenden soll angenommen werden, dass die Zufallsvariable X, die diese Kunden zählt, binomialverteilt ist.
Meine Ideee ist folgende:
Auf jedenfall lohnt es sich ja bei solchen Aufgabe eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zu notieren.
Wenn X als die Anzahl der Abweichungen defniert ist, dann gilt:
0 Abweisungen -> + 400 € Gewinn -> 0,0978 Wahrscheinlichkeit
1 Abweisung -> +150 € Gewinn -> 0,0615 Wahrscheinlichkeit
2 Abweisungen -> -100 € Verlust -> 0,0307 Wahrscheinlichkeit
3 Abweisungen -> -350 € Verlust -> 0,0115 Wahrscheinlichkeit
4 Abweisungen -> -600 € Verlust -> 0,0028 Wahrscheinlichkeit
5 Abewisungen -> -850 € Verlust -> 0,0003 Wahrscheinlichkeit
Zur Info: Den Gewinn/ Velrust habe berehchnet mit:
5* 80€ - (Anzahl der Abweisungen) * (-250 €)
Und die Wahrscheinlichkeit immer mit der Bernoulli-Formel.
Dann braucht man ja nur noch den Erwartungswert zu brechnen und da komm ich auf 39,32 € Gewinn.
Warum ist das falsch?? Ich hoffe ihr könnt mir hier weiterhelfen!
LG
Cauchy
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qwertzusername
Senior 
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| Beitrag No.1, eingetragen 2017-03-29
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Hallo,
ohne jetzt die Rechnungen angeschaut zu haben fällt mir direkt eines auf:
Deine Wahrscheinlichkeiten können so nicht stimmen, ihre Summe ist nicht 1.
Du hast also entweder dich bei den einzelnen Wahrscheinlichkeiten verrechnet, du hast Ereignisse vergessen oder deine Ereignisse überschneiden sich.
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Cauchy
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 10.07.2015
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-29
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Danke qwertzusername für deine Antwort!
Ich habe die Wahrscheinlichkeiten immer so berechnet:
z.B.
P(X=5) = BinomialPD (5,195,0.04) = 0,0978
Und das analog für die anderen. Das ist doch OK, oder?
LG
Cauchy
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qwertzusername
Senior
Dabei seit: 05.06.2015
Mitteilungen: 1363
| Beitrag No.3, eingetragen 2017-03-29
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Was ist BinimoalPD?
Und hast du irgendwo den Fall einfließen lassen, dass mehr als 5 Passagiere nicht auftauchen?
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Cauchy
Ehemals Aktiv
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-29
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\quoteon(2017-03-29 12:44 - qwertzusername in Beitrag No. 3)
Was ist BinimoalPD?
\quoteoff
Das ist eine Taschenrechnerfunktion- haben wir uns leider in der Schule angewöhnt. Also mathematisch korrekt hieße dies: B(195,0.04,5)
\quoteon(2017-03-29 12:44 - qwertzusername in Beitrag No. 3)
Und hast du irgendwo den Fall einfließen lassen, dass mehr als 5 Passagiere nicht auftauchen?
\quoteoff
Aber das ist doch eigentlich irrelavant für diese Aufgabe...
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qwertzusername
Senior
Dabei seit: 05.06.2015
Mitteilungen: 1363
| Beitrag No.5, eingetragen 2017-03-29
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Wieso ist das irrelevant?
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Cauchy
Ehemals Aktiv
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-29
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Ich weiß, dass ich garantiert falsch liege, aber:
Vielleicht, weil ich doch nur die Überbuchung um 5 Plätze betrachte...
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qwertzusername
Senior
Dabei seit: 05.06.2015
Mitteilungen: 1363
| Beitrag No.7, eingetragen 2017-03-29
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Deine Auflisten der möglichen Ereignisse mit den Abweisungen ist schon die richtige.
Bei den 0 Abweisungen gehört aber auch dazu dass weniger als 190 Passagiere erscheinen. Das iat ein Ereignis das eintreten kann und daher in der Rechnung nicht so ohne weiteres ignoriert werden kann.
Du hast nur die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass 190 Passagiere erscheinen.
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Cauchy
Ehemals Aktiv
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Mitteilungen: 110
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-03-29
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Dann würde ja theoretisch 357,48€ Gewinn gemacht werden, oder?
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qwertzusername
Senior
Dabei seit: 05.06.2015
Mitteilungen: 1363
| Beitrag No.9, eingetragen 2017-03-29
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Klingt realistisch.
Summieren sich denn jetzt deine Wahrscheinlichkeiten zu 1?
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trunx
Senior
Dabei seit: 16.08.2003
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Wohnort: Berlin
 | Beitrag No.10, eingetragen 2017-03-29
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ich habe andere ergebnisse.
hattet ihr den begriff 'bernoulli-kette'?
was genau ist denn bei dir ein einzelereignis, wie oft findet es statt (diese gesamtheit wäre dann die bernoulli-kette), welche ergebnisse gibt es in dieser gesamtheit (in dieser kette)?
bye trunx
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trunx
Senior 
Dabei seit: 16.08.2003
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| Beitrag No.11, eingetragen 2017-04-06
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ich löse mal auf:
die bernoulli-kette besteht hier aus den n=195 menschen, die plätze im flugzeug buchen und mit wahrscheinlichkeit p=0,04 den flug nicht wahrnehmen.
die für die fluggesellschaft ungünstigen ereignisse sind dabei, wenn nun nur k=0,1,2,3,4 leute nicht erscheinen.
die wahrscheinlichkeit für deren eintreffen beträgt nun
$P(k<5)=0,96^{195}+195\cdot0,96^{194}\cdot0,04+\binom{195}{2}\cdot0,96^{193}\cdot0,04^2+\binom{195}{3}\cdot0,96^{192}\cdot0,04^3+\binom{195}{4}\cdot0,96^{191}\cdot0,04^4$.
das muss man jz nicht ausrechnen (wäre aber ca. 10,7%), denn gesucht ist ja der dadurch gemachte verlust V. alle einzelwahrscheinlichkeiten sind daher mit den entsprechenden verlusten zu multiplizieren und dann zu addieren
$V=250\cdot\sum\limits_{k=0}^4 (5-k)\binom{195}{k}\cdot0,96^{195-k}\cdot0,04^k=42,59$ Euro.
und das ist kleiner als die gewonnenen 5*80=400 Euro, sd. wie gefordert gezeigt wurde, dass die fluggesellschaft trdm gewinne macht.
interessant wäre, die optimale überbuchung zu ermitteln, also diejenige, bei der am meisten gewinn gemacht würde. n wäre dabei $191+k_{max}$ und $k=0,\cdots,k_{max}$ mit zu ermittelndem $k_{max}$. der gewinn wäre
$G(k_{max})=80\cdot(k_{max}+1)-250\cdot\sum\limits_{k=0}^{k_{max}} (k_{max}+1-k)\binom{191+k_{max}}{k}\cdot0,96^{191+k_{max}-k}\cdot0,04^k$.
bye trunx
NACHTRAG: die optimale überbuchung wäre wohl 7 ($k_{max}=6$)
und gut geht die überbuchung bis zu 11 ($k_{max}=10$).
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