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Gewöhnliche DGL » Lineare DGL 2. Ordnung » Polynomlösungen der Hermite'schen DGL
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Universität/Hochschule J Polynomlösungen der Hermite'schen DGL
GammaGamma
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-05-06


Grüß euch,

Im Moment bearbeite ich folgende Aufgabe zur Hermite'schen DGL:

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

Gut folgendes:
Der erste Teil, das herausfinden von Lambda hat ganz gut geklappt:

fed-Code einblenden

Mein Problem liegt nun darin zu zeigen, das dies das einzige Basiselement des Lösungsraums ist, also alle anderen Lösungen nur Vielfache sind. Ich hab um ehrlich zu sein keine Ahnung wie ich hier Argumentieren kann.
Eventuell mit dem Eindeutigkeitssatz? Mit der Spiegelsymmetrie der Lösung?

Wäre echt super, wenn mir hier jemand helfen könnte!

Beste Grüße,
<math>\Gamma\Gamma</math>



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loop_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-05-06


Habs jetzt mal nicht zu Ende gedacht, aber was passiert, wenn du annimst, es gibt noch eine weitere Lösung <math>y_2(x)</math>. Dann müsste

<math>y(x) - y_2(x) \neq 0</math> sein. Setz dies doch mal ein und führe es zum widerspruch.



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GammaGamma
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-06


Okay, ich versteh deinen Ansatz, bezweifle aber, dass ich das so einfach zum Widerspruch führen kann, oder ich sehe es einfach nicht.

fed-Code einblenden

Und genau da hängts mich schon auf. Ich seh keine Möglichkeit hier sinnvoll zu Argumentieren, weil ich ja keine weiteren "Anhaltspunkte" hab.

Ich kann eventuell mit:
fed-Code einblenden
argumentieren.
Das ist jetzt sehr intuitiv argumentiert, aber ich seh in Wirklichkeit nicht wie ich das sonst machen sollte.

Das für die DGL noch vielfache der Lösung möglich sind ist ganz klar, aber in meinen Augen muss das, (leider nur)ganz intuitiv halt, genau das sein.

<math>\Gamma\Gamma</math>



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loop_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-05-06


Ich glaube ich habe meine Idee nicht ganz vernünftig erklärt. Ich würde die Funktion <math>w(x) = y(x) - y_1(x)</math> in die DGL einsetzen und zeigen, dass gilt:

<math>w(x) = 0</math>

unter der Annahme, dass <math>y(x) \neq r*y_1(x)</math> ist. Dass nämlich die Vielfachen eine Lösung der DGL sind, ist trivial.



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2017-05-06


Vielleicht kannst du mit dem d'Alembertschen Reduktionsverfahren eine zweite Lösung bestimmen.
Da dies im wesentlichen ein Ansatz <math>y=y_0\cdot c(x)</math>, wobei <math>y_0</math> die bereits gefundene Lösung ist.

Du brauchst also nur nachzuweisen, dass die Dgl. für <math>c"</math>, die sich ergibt, keine Polynomlösung hat.

Wally



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-05-07


Für beide Teilaufgaben lohnt es sich, die Hermitesche DGL mit dem Ansatz <math>y(x)=\sum_na_n\,x^n</math> ist die äquivalente Rekursionsbeziehung

    <math>\displaystyle a_{n+2}=
{2\,(n-\lambda)\over(n+1)(n+2)}\,a_n</math>

zu übersetzen, denn an der kann man sofort ablesen:

1. Polynome als Lösung gibt es genau für <math>\lambda\in{\Bbb N}</math>.

2. Diese Polynome haben dann den Grad <math>\lambda</math>.

3. Für ein gerades bzw. ungerades <math>\lambda</math> enthalten diese Polynome nur gerade bzw. ungerade Potenzen von <math>x</math> und sind durch <math>a_0</math> bzw. <math>a_1</math> eindeutig festgelegt, so dass es in beiden Fällen bis auf Vielfache stets genau ein Polynom als Lösung gibt.

Grüße,
dromedar



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GammaGamma
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-07


Danke, Danke!

Hab das jetzt mittels der Rekursionsrelation gemacht und das macht super Sinn, wie bei der Legendre'schen DGL, eigentlich.

Mit d'Alembert wäre das ganze sicher auch interessant gewesen, aber das haben wir in der Vorlesung noch nicht gemacht :)

Danke vielmals, Problem gelöst,
<math>\Gamma\Gamma</math>



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