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Gewöhnliche DGL » Lineare DGL 2. Ordnung » Holomorphe Funktionen als Lösung einer Differentialgleichung
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Universität/Hochschule Holomorphe Funktionen als Lösung einer Differentialgleichung
mathefisch90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-05-07


Guten Tag!

Wir haben folgende Zusatzaufgabe in Funktionentheorie bekommen und in der Vorlesung überhaupt nichts zu Differentialgleichungen gemacht. Auch habe ich die Vorlesung gewöhnliche Differentialgleichungen noch nicht gehört.

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass es genau ein Paar von holomorphen Funktionen f,g gibt, so dass:

f'(z)=g(z), g'(z)=f(z) für alle komplexen Zahlen z, sowie: f(0)=1, g(0)=1.

Unter der Verwendung von cos(z)=cos(-z) konnte man leicht nachrechnen, dass Sinus und Cosinus die Bedingungen erfüllen. Meine Frage ist aber nun, wie kann man die Eindeutigkeit einsehen? Hat jemand einen Tipp? Danke schonmal.




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Gestath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-05-07


Hallo,

Cosinus und Sinus erfüllt  die Bedingungen nicht.
Das erste woran ich hier denken würde, wäre Potenzreihenentwicklung.

MfG
Gestath



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mathefisch90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-07


Du hast Recht, ich habe mich verrechnet. Dann überleg ich weiter. Allerdings haben wir auch nichts mit Potenzreihen gemacht, dass in Verbindung zu holomorphen Funktionen steht.



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Gestath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-05-07


Dann schau dir mal f+g und f-g an.



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