| |
| Autor |
  Quadratzahl und Dreieckszahl |
|
Bekell
Aktiv 
Dabei seit: 05.09.2008
Mitteilungen: 3227
 |  Themenstart: 2017-05-17
|
Ich zitiere mal Wikipedia:
\quoteon
Quadrat-Dreieckszahlen sind Dreieckszahlen, die gleichzeitig Quadratzahlen sind. Die ersten Quadrat-Dreieckszahlen sind
0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, … Folge A001110 in OEIS
Dies sind die Dreieckszahlen mit den Indizes
0, 1, 8, 49, 288, 1681, 9800, 57121, … Folge A001108 in OEIS
Damit eine Dreieckszahl eine Quadratzahl sein kann, muss für diese Zahl
(n * (n+1)) /2
Folgendes gelten: Von den beiden Zahlen n+1 und n muss eine der beiden eine ungerade Quadratzahl sein, während die andere das Doppelte einer Quadratzahl sein muss. Denn die beiden aufeinanderfolgenden Zahlen sind immer teilerfremd; insbesondere ist immer eine der beiden ungerade, und die andere ist gerade. Die gerade Zahl ist deshalb das Doppelte einer Quadratzahl, und die ungerade Zahl ist selbst eine (ungerade) Quadratzahl.
\quoteoff
Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Dreieckszahl
Ich kann davon nichts entdecken, oder irre ich?
http://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/23651_DreiecksZahlQuadratzahl.png
Weder die 1296 noch die 11567 sind das Doppelte einer Quadratzahl..?? Wer ist mit den beiden Zahlen gemeint? 1224 und 1226 sind auch keine Quadratzahlen....
|
 Profil
|
Squire
Senior 
Dabei seit: 18.08.2015
Mitteilungen: 902
 | Beitrag No.1, eingetragen 2017-05-17
|
Guten Morgen!
Ich bin nicht sicher, ob ich dein Problem verstehe, aber ich zeige mal für 1225:
$1225=\frac {2450}{2}=\frac {49\cdot 50}{2}=\frac {7^2\cdot 2\cdot 5^2}{2}$
Grüße Squire
|
Profil
|
Ex_Senior
| Beitrag No.2, eingetragen 2017-05-17
|
\quoteon(2017-05-17 07:19 - Bekell im Themenstart)
\quoteon
Dies sind die Dreieckszahlen mit den Indizes
0, 1, 8, 49, 288, 1681, 9800, 57121, … Folge A001108 in OEIS
Damit eine Dreieckszahl eine Quadratzahl sein kann, muss für diese Zahl
(n * (n+1)) /2
Folgendes gelten: Von den beiden Zahlen n+1 und n muss eine der beiden eine ungerade Quadratzahl sein, während die andere das Doppelte einer Quadratzahl sein muss.
\quoteoff
\quoteoff
Stimmt doch.
Für n=8 ist 8 doppelte Quadratzahl und 49 ungerade Quadratzahl. Für n = 49 ist n ungerade Quadratzahl und 50 doppelte Quadratzahl usw.
Bei wikipedia fehlt die interessante explizite Darstellung dieser Zahlen:
$K_n=(\frac{(1+\sqrt{2})^{2n}-(1-\sqrt{2})^{2n}}{(4\sqrt{2})})^2$
Steffen
|
Profil
|
kurtg
Senior
Dabei seit: 27.08.2008
Mitteilungen: 1304
| Beitrag No.3, eingetragen 2017-05-17
|
Das Problem führt auf eine Pell-Gleichung: $m^2 = \frac{n(n+1)}{2} \iff 8m^2 = (2n)^2 + 4n \iff (2n+1)^2 - 8m^2 = 1$
|
Profil
|
Bekell
Aktiv
Dabei seit: 05.09.2008
Mitteilungen: 3227
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-17
|
Also, 1225 ist Quadratzahl von 35 und Dreieckszahl von 49.
wer sind jetzt die Zahlen n und n+1? Worauf bezieht sich das "von den beiden Zahlen"? Denn 49 ist nicht das Doppelte einer QZ, sondern Quadratzahl selber und von 35 wäre n+1=36 QZ.
|
Profil
|
MartinN
Aktiv
Dabei seit: 05.08.2016
Mitteilungen: 1412
Wohnort: Bayern
| Beitrag No.5, eingetragen 2017-05-17
|
Das n ist in deinem Fall die 49 ;)
Die Dreieckszahl von n = 49 ist: n(n+1)/2 = 49*50/2 = 49*25 = 1225 (= 35^2).
Und der Wiki-Artikel sagt aus:
- entweder n ist eine Quadratzahl und n+1 das doppelte einer Quadratzahl
- oder n ist das doppelte einer Quadratzahl und n+1 ist eine Quadratzahl
Nur in diesen beiden Fällen ist die Dreieckszahl von n, also n(n+1)/2, selbst eine Quadratzahl.
|
Profil
|
Bekell
Aktiv
Dabei seit: 05.09.2008
Mitteilungen: 3227
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-17
|
\quoteon(2017-05-17 13:25 - MartinN in Beitrag No. 5)
Das n ist in deinem Fall die 49 ;)
Die Dreieckszahl von n = 49 ist: n(n+1)/2 = 49*50/2 = 49*25 = 1225 (= 35^2).
Und der Wiki-Artikel sagt aus:
- entweder n ist eine Quadratzahl und n+1 das doppelte einer Quadratzahl
- oder n ist das doppelte einer Quadratzahl und n+1 ist eine Quadratzahl
Nur in diesen beiden Fällen ist die Dreieckszahl von n, also n(n+1)/2, selbst eine Quadratzahl.
\quoteoff
Hab's verstanden. Danke, MartinN! Das in Wikipedia ist zumindest unglücklich bis mißverständlich formuliert ... spricht man für n dann nicht von der Wurzel der Dreieckszahl, womit nicht die Quadratwurzel, sondern die Dreieckswurzel gemeint ist?
|
Profil
|
MartinN
Aktiv
Dabei seit: 05.08.2016
Mitteilungen: 1412
Wohnort: Bayern
| Beitrag No.7, eingetragen 2017-05-17
|
Keine Ahnung, wie man das genau bezeichnet ^^
Laut Wiki ist die Dreieckswurzel:
$n = \frac{\sqrt{8x+1}-1}{2}$
Wenn ich davon n(n+1)/2 berechne, dann erhalte ich x.
Entsprechend scheint der Begriff Dreieckswurzel zu passen (als Umkehrung zur Dreieckszahl).
Also in deinem Fall: n = 49 ist die Dreieckswurzel zur Quadratzahl 1225 (= 35^2). Damit ist 1225 auch die Dreieckszahl von n = 49 (und nebenbei noch eine Quadratzahl).
|
Profil
|
Bekell
Aktiv
Dabei seit: 05.09.2008
Mitteilungen: 3227
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-05-17
|
Danke an Alle Mitposter und Hermeneuten
|
Profil
|
Bekell hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Bekell hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. | | Bekell wird per Mail über neue Antworten informiert. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
2023-09-30 16:09 U <
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
