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| Autor |
 Holomorphie auf beschränktem Gebiet |
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Neodym342
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 31.10.2015
Mitteilungen: 145
 |  Themenstart: 2017-06-07
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Hallo,
mal wieder eine Aufgabe zu meiner geliebten Funktionentheorie.
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/44146_ft2.PNG
Leider habe ich gerade gar keinen Ansatz, wie ich das bewerkstelligen soll :-? Es wird wahrscheinlich irgendwie mit dem Identitätssatz oder dem Maximumprinzip zu tun haben, oder?
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targon
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 01.04.2016
Mitteilungen: 114
 | Beitrag No.1, eingetragen 2017-06-17
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Hallo Neodym,
ich nehme an, dass $B( \partial G , \delta) := \cup_{x \in \partial G} B(x, \delta)$ definiert ist. (und $B(x , \delta) := \{ z \in \mathbb{C} : \vert z - x \vert < \delta \}$)
Zu 1.: Beispielsweise in dem Buch "Funktionentheorie 2" von R. Remmert und G. Schumacher wird im Kapitel zu Holomorphiegebieten zu einem beliebigem Gebiet $G \subset \mathbb{C}$ eine holomorphe Funktion $f : G \to \mathbb{C}$ konstruiert, die Pole auf einer (insbesondere) dichten Teilmenge des Randes von $G$ hat. Für die genaue Konstruktion siehe dort, aber um eine Anschauung zu vermitteln, die Funktionen sehen so aus:
$f(z) = \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{a_k}{z - b_k},$
wobei $(a_k)_{k \in \mathbb{N}}$ eine Folge in $\mathbb{C} \setminus \{0 \}$ ist mit $\sum \vert a_k \vert < \infty$ und $(b_k)_{k \in \N}$ die dort konstruierte, (im Rand) dichte Teilmenge des Randes. (also sprich $\overline{\{b_k : k \in \mathbb{N} \} } = \partial G$)
Befinden wir uns nun auf dem Einheitskreis $G := \mathbb{D}$ und haben unsere obige Funktion $f : \mathbb{D} \to \mathbb{C}$. Zu gegebenem $S > 0$ wähle nun zu jedem $b_k$ ein $\delta_k$ mit $\vert f(z) \vert > S ~ \forall z \in B(b_k , \delta_k)$.
Ein solches existiert, da $\lim\limits_{z \rightarrow b_k} f(z) =
\infty$ für jedes $k \in \mathbb{N}$.
Da $\partial G = \{ z \in \mathbb{C} : \vert z \vert = 1 \}$ kompakt ist, existieren $k_1 , \ldots , k_n$, sodass $\cup_{j = 1}^n B(b_{k_j} , \delta_j) \supset \partial G$. Definiere $\delta := \min_{k=1}^n \delta_k$.
Nun gilt für anfänglich gewähltest $S$ und das konstruierte $\delta$: $\vert f(z) \vert > S ~ \forall z \in B(\partial G , \delta)$.
Also diese Funktion ist holomorph auf $G$ UND erfüllt deine Bedingung, also um zum Punkt zu kommen: wenn an meiner Konstruktion da nichts falsch ist, ist es die Aufgabenstellung.
Zu 2.: Das Maximumsprinzip hilft weiter. Insbesondere die Formulierung die besagt, dass wenn $f$ holomorph auf $G$ und stetig auf $G \cup \partial G$ ist, bereits
$\vert f(z) \vert \leq \sup_{w \in \partial G} \vert f(w) \vert ~ \forall z \in \overline{G}$
folgt. Überlege dir, wie du mit der Voraussetzung $f$ stetig auf den Rand fortsetzen kannst und wende dann das Maximumprinzip an.
Gruß
Targon
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