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Funktionentheorie » Holomorphie » Biholomorphe Abbildung
Autor
Universität/Hochschule Biholomorphe Abbildung
RodionRaskolnikow
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 03.01.2015
Mitteilungen: 25
  Themenstart: 2017-06-10

Hallo alle miteinander, ich möchte zeigen, dass jede injektive, holomorphe Funktion $$f: G \to \mathbb{C}$ eine biholomorphe Abbildung $f:G \tilde{\to} f(G)$ induziert (G sei ein Gebiet). Ich habe leider kaum eine Idee. Ich weiß nur, dass die Abbildung bijektiv und holomorph sein muss, aber wie man den Beweis beginnt ist mir ein Rätsel. Kann mir jemand helfen?

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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.1, eingetragen 2017-06-10

Hallo, würde dir der folgende Satz helfen? \quoteon Ist $f$ bei $z_0\in G$ holomorph mit $f'(z_0)\neq 0$, so ist $f$ lokal bei $z_0$ bijektiv, d.h. $f$ bildet eine Umgebung $U$ von $z_0$ bijektiv auf eine Umgebung $V$ von $f(z_0)$ ab. Die Umkehrfunktion $f^{-1}: V\to U$ ist bei $w_0:=f(z_0)$ holomoprh und es ist $f^{-1}'(w_0)=\frac{1}{f'(z_0)}$. \quoteoff (Zum Beweis betrachte die Cauchy-Riemann-Gleichung sowie den Satz über lokale Umkehrbarkeit) Nun ist deine Funktion injektiv, also gibt es keine Punkte wo die Ableitung verschwindet. Nach dem Satz hast du dann eine biholomorphe Funktion... - Irre ich mich?

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RodionRaskolnikow
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Dabei seit: 03.01.2015
Mitteilungen: 25
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-06-11

Ich verstehe den letzten Teil noch nicht $$f^{-1\prime}(w_0) = \frac{1}{f'(z_0)} $$ Ansonsten sollte das reichen, aber ich denke nochmal etwas darüber nach...

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