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  Laplace-Transformation: Lineare inhomogene DGL 3.Ordnung |
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sophox
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 |  Themenstart: 2017-06-16
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Guten Tag, ich habe mich mal an das Lösen einer DGL mit Hilfe der Laplace Transformation herangetraut. Nun habe ich die Frage, ob mein Lösungsweg stimmt und wäre dankbar um Hilfe : )
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Die Aufgabe lautet
y'''-2y''+y'=t ; y(1)=1, y'(1)=1, y''(1)=0
L{y'''}-2L{y''}+L{y'}=L{t}
Daraus folgt
s^3 Y(s)-s^2 y(0)-sy(0)-y''(0)-2s^2 Y(s)+2sy(0)+2y'(0)+sY(s)-y(0)=1/s^2
Y(s)(s^3-s^2+s)=1/s^2+s^2 y(0)-sy(0)+y''(0)-2y'(0)+y(0)
Y(s)=(s^(-2)+(s^2-s+1) y(0)+y''(0)-2y'(0))/(s^3-s^2+s)
Partialbruchzerlegung:
Y(s)= 3/s+2/s^2+1/s^3-3/(s-1)+1/(s-1)^2+y(0)/(s-1)^2+y(0)/s+y''(0)/s-y''(0)/(s-1)+y''(0)/(s-1)^2+2y'(0)/s-2y'(0)/(s-1)+2y'(0)/(s-1)^2
Zurück in den Zeitbereich:
y(t)= \Theta (3+y(0)+y''(0)+2y'(0))+(4t+t^2)/2+e^t (-3-y''(0)-2y'(0))+te^t(1+y(0)+y''(0)+2y'(0))
wobei \Theta laut Wikipedia Korrespondenzentabelle der Einheitssprung ist.
Ich hoffe jemand kann mir sagen, ob mein Lösungsweg stimmt, und wie ich jetzt das Anfangswertproblem lösen kann, da ich ja nicht y(0) sondern y(1) gegeben habe...
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freeclimb
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| Beitrag No.1, eingetragen 2017-06-16
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Hallo!
Ich hab es nicht nachgerechnet aber um deine Frage zu beantworten: Leite deine Lösung einmal ab, das liefert y'(t). Jetzt setzt du die gegebene Anfangsbedingung ein und kannst y'(0) ausrechnen.
mfg
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sophox
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-06-16
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Sollte ich es zuerst zwei Mal ableiten, um als erstes y''(0) zu berechnen? weil das habe ich ja auch nicht gegeben : )
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freeclimb
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| Beitrag No.3, eingetragen 2017-06-16
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Ja, das ist der Grundgedanke. ;)
Villeicht prüfst du die RIchtigkeit deiner Lösung aber noch durch EInsetzen in die DGL bevor du jetzt mit einer falschen Lösung weitermachst.
mfg
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sophox
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-06-17
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Ich habe die meine Lösung abgeleitet und eingesetzt und sie sollte passen...aber noch mal zum AWP:
Setze ich in y, y' und y'' meine Gegebenen AW ein und löse dann das LGS aus diesen drei Gleichungen? Denn wenn ich das mache, komme ich leider auf keine Lösung...
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freeclimb
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| Beitrag No.5, eingetragen 2017-06-17
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Poste doch bitte deine Rechnung, sonst kann dir niemand sagen warum du auf "keine Lösung" kommst.
mfg
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sophox
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|  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-06-19
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Ich habe meine Lösung mit einem Online-Rechner abgeleitet und die Variablen y(0), y'(0), y''(0) der Einfachheit halber mit a, b, c ersetzt:
Dann habe ich jeweils die gegebenen Anfangswerte eingesetzt und komme auf folgendes:
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/47927_1_IMG_20170619_094054-2340x3120-01-936x1248.jpeg
Daraufhin habe ich das LGS in einer Matrix dargestellt und mit diesem Rechner gelöst:
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/47927_Unbenannt.JPG
woraufhin keine Lösungen gefunden werden...
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freeclimb
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| Beitrag No.7, eingetragen 2017-06-19
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Hallo!
Du schreibst
y(t)= \Theta (3+y(0)+y''(0)+2y'(0))+(4t+t^2)/2+e^t (-3-y''(0)-2y'(0))+te^t(1+y(0)+y''(0)+2y'(0))
und hier scheint bei den Koeffizienten ein Fehler zu sein, denn wenn ich es durchrechne, dann komme ich auf die richtige Lösung. Es gilt
y(t)= a+(4t+t^2)/2+e^t*b+c*te^t
mit a,b,c\in\IR.
Zweimal Ableiten und die Konstanten sind leicht per Hand zu ermitteln. Die richtige Lösung lautet dann
y(t)=3/2 - 4 e^(-1 + t) + 2 t + e^(-1 + t) t + t^2/2
mfg
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sophox
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-06-19
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Könntest du vielleicht deinen Lösungsweg schicken? Scheine irgendwo einen Fehler zu haben...komme mit der Ansatzmethode aber auch auf dieses Ergebnis :)
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freeclimb
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| Beitrag No.9, eingetragen 2017-06-19
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Du hast dich nach der Transformation zweimal verrechnet beim Umformen. Mehr ist es nicht.
Interessant ist aber, dass du trotzdem die passenden Nullstellen für die PBZ verwendet hast. ;)
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