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  Anwendungsaufgabe: Identitätssatz holomorpher Funktionen |
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Staatsexamenslerner
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Mitteilungen: 73
 |  Themenstart: 2017-06-19
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Liebe Mitmenschen,
momentan grüble ich an folgender Aufgabe aus dem Analysis-Staatsexamen Bayern (Frühjahr 2017):
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Gibt es eine ganze Funktion f mit:
(I) f(1) = π und
(II) f´(z) = │z│∙f(z) für alle komplexen Zahlen?
Begründen Sie Ihre Antwort ausführlich!
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Mein Ansatz / meine Heurismen bisher:
- so eine Funktion gibts sicher nicht, sonst würden die keine ausführliche
Begründung verlangen, sondern das Aufschreiben eines Beispiels würde
reichen
- Lösungsansatz (Vermutung): ich schau mir das Ganze mal auf eingeschränkt
dem Rand des Einheitskreises an (weil ein Funktionswert für 1 gegeben
ist und dann dank (II) der lästige Absolutbetrag komplett verschwindet)
- eine Funktion, die auf dem Rand ∂E des Einheitskreises (II) genügt ist
die auf ganz C definierte und holomorphe Funktion f(z)= π∙exp(z-1)
An diesem Punkt vermute ich nun, dass die ganze Geschichte auf den Identitätssatz für holommorphe Funktionen (wie auf wikipedia beschrieben) hinausläuft und die Ientität mit der Funktion f(z)= π∙exp(z-1) auf C zu einem Widerspruch führt. Problem dabei: ich habe die Funkion bisher ja nicht auf einem Gebiet betrachtet, weil der Einheitskreisrand in C nicht offen ist. Sobald ich aber eine andere Teilmenge von C verwende, stimmt die Übereinstimmung mit der o.g. Funktion ja nicht mehr.
Eine andere Alternative, die mir noch eingefallen wäre, wäre das Maximum-/Minimumprinzip für beschränkte Mengen mit dem Einheitskreis respektive dessen Abschluss als Menge und darüber zu gehen, dass die widersprüchliche Annahme der Existenz einer solchen Funktion darin mündet, dass ihre Einschränkung auf den Abschluss des Einheitskreises auf dessen Rand ein globales Maximum annehmen muss. Aber: ich kenne dort ja nur den Funktionswert f(1) = π und bin dann ratlos.
Wie immer bin ich fü jeden Denkanstoß sehr, sehr dankbar. Ihr seid echt spitze!
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Staatsexamenslerner
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| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2017-06-19
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Zum besseren Verständnis: der komische Haken "π" soll "pi" sein. LEider klappt das bei mir mit der Formatierung noch nicht wie gewünscht.
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darkhelmet
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| Beitrag No.2, eingetragen 2017-06-19
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\quoteon(2017-06-19 17:39 - Staatsexamenslerner im Themenstart)
An diesem Punkt vermute ich nun, dass die ganze Geschichte auf den Identitätssatz für holommorphe Funktionen (wie auf wikipedia beschrieben) hinausläuft und die Ientität mit der Funktion f(z)= π∙exp(z-1) auf C zu einem Widerspruch führt. Problem dabei: ich habe die Funkion bisher ja nicht auf einem Gebiet betrachtet, weil der Einheitskreisrand in C nicht offen ist.
\quoteoff
Ich bin mir nicht sicher, ob deine Beweisidee funktioniert, aber das ist nicht das Problem: Wenn zwei ganze Funktionen auf der Einheitskreislinie übereinstimmen, stimmen sie wegen der Formel von Cauchy auf der ganzen Einheitskreisfläche überein.
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Staatsexamenslerner
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-06-19
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Hallo darkhelmet,
danke für Deine Antwort. Mit "Cauchy-Formel" meinst Du die Cauchy-Integralformel?
Falls ja: die Folgerung kannte ich gar nicht. Werde mir darüber jetzt ernsthaft Gedanken machen.
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darkhelmet
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| Beitrag No.4, eingetragen 2017-06-19
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Staatsexamenslerner
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-06-19
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Und irgendwie scheine ich gerade ein Brett vor dem Kopf zu haben. Die von mir gefundene Funktion ist ganz und erfüllt die gesuchte Eigenschaft zwar auf der Einheitskreislinie, müsste also dem von Dir, darkhelmet, genannten Satz nach dies ja auch auf ganz C tun, tut sie aber nicht,was man z.B. an f´(2)= πe ≠ 2πe = │2│∙f(2) sieht. Irgendwo scheine ich da einen Denkfehler zu haben.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
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Staatsexamenslerner
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-06-19
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Achso, hab den Fehler, denke ich: eine beliebige Funktion erfüllt die genannte Differentialgleichung auf der Einheitskreislinie ebenso wie mein f, aber f und eine beliebige weitere Funktion, die die genannte Diff.gleichng auf der Einheitskreislinie erfüllt, müssen dort deshalb noch lang nicht übereinstimmen.
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Staatsexamenslerner
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2017-06-19
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Aber wie könnte mir der Satz mit der Einheitskreislinie jetzt bei der Lösung der Aufgabe helfen???
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darkhelmet
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| Beitrag No.8, eingetragen 2017-06-19
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Ich weiß es nicht.
Vielleicht könnte man auch direkt am Differenzialquotienten untersuchen, unter welchen Bedingungen $z\mapsto|z|f(z)$ überhaupt komplex differenzierbar sein kann.
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Staatsexamenslerner
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2017-06-20
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Hmmm...
Ich werde das heute ausprobieren.
Aber ich glaube, dass das vermutlich nicht der intendierte Lösungsweg ist. Das ist eine Aufgabe, die stammt aus einem Pool zu - ich bezeichne sie mal so - Aufgaben zu "Basis-Sätzen" der Funktionentheorie (sprich: Satz von Liouville, verallgemeinerter Satz von Liouville, Maximum-/Minimumprinzip für holomorphe Funktionen, Maximum-/Minimumprinzip für beschränkte Gebiete, Riemann-Hebbarkeitssatz, Satz von der Gebietstreue, Riemann-Abbildungssatz, großer und kleiner Satz von Picard, Identitätssatz). Und da gehts dann meistens darum, einen dieser Sätze anzuwenden oder zwei zu kombinieren und meistens gehts über eine Widerspruchsannahme oder eben darum, geschickt ein Beispiel zu finden. Das ist meistens so die grpbe "Art", von der die Aufgaben sind. Vielleicht habe ich auch da noch was Wichtiges übersehen.
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Staatsexamenslerner
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2017-06-29
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Staatsexamenslerner hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Staatsexamenslerner hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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