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Funktionentheorie » Holomorphie » Existenz von Logarithmusfunktionen
Autor
Universität/Hochschule J Existenz von Logarithmusfunktionen
Bai
Senior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 11.09.2014
Mitteilungen: 1257
  Themenstart: 2017-06-28

Hi, ich möchte gerne zeigen, dass es auf einem Gebiet U, das die linksgeschlitzte Ebene $\IC\backslash]\infty,0]$ echt enthält, keine Logarithmusfunktion geben kann. 1. Zunächst beobachtet man dazu leicht, dass U in diesem Fall nicht einfach wegzusammenhängend sein kann. 2. Ich habe gezeigt, dass $L(re^{i\varphi})=\log r+i\varphi$ eine Logarithmusfunktion auf der linksgeschlitzten Ebene definiert. Nun habe ich die Vermutung, dass eine Logarithmusfunktion auf U ein Nebenzweig von L sein müsste, also in $L+2\pi i\IZ$ liegt. Damit wäre für jeden Punkt aus dem Komplement der linksgeschlitzten Ebene der $\log$-Anteil nicht stetig, also die Logarithmusfunktion nicht holomorph, im Widerspruch zur Definition. Stimmt diese Vermutung? Und wenn ja, wie schreibt man das sauber auf?

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Bai
Senior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 11.09.2014
Mitteilungen: 1257
  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2017-06-29

Hat keiner eine Idee? Die Aufgabe sieht doch eigentlich ganz trivial aus. Ich weiß, dass es auf nicht einfach zusammenhängenden Gebieten keine Logarithmusfunktion geben kann, würde aber ungerne einfach einen Beweis dazu aus der Literatur abschreiben und hier dann zeigen, dass diese Eigenschaft auf U zutrifft. Ich denke, hier geht es konstruktiv, daher bin ich an einem schöneren Beweis interessiert.

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Bai hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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