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Strukturen und Algebra » Ringe » Kanonische Bijektion zwischen Homs
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Universität/Hochschule Kanonische Bijektion zwischen Homs
KarlRuprecht
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  Themenstart: 2017-06-30

Hallo, bin zuletzt auf eine vermeintlich leicht zu beweisende Bijektion gestoßen, deren Beweis einen Kniff aufwies, den ich irgendwie nicht umschiffen konnte: Seien $R, A$ Ringe, $M$ ein R-Modul. Habe zu zeigen $\tau: \operatorname{Hom}_{Ab}(M,A) \to \operatorname{Hom}_{R-Mod}(M,\operatorname{Hom}_{Ab}(M,A)) $ ist bijektiv, wobei $\tau$ definiert ist durch $\tau(f)(m) = (r \to f(rm))$ wobei $f \in \operatorname{Hom}_{Ab}(M,A), r \in R, m \in M$. Habs versucht durch das Finden einer inversen Abb. $\beta$ mit $\tau \beta = id, \beta \tau = id$ mir das Leben einfacher zu machen, wobei ich das $\beta$ wie folgt definiere: Sei $s \in Hom_{R-Mod}(M,\operatorname{Hom}_{Ab}(M,A))$, dann $\beta(s) = (m \to s(m)(1))$. Beim Nachweis von $\tau \beta = id$ taucht folgendes ekliges Problem auf: Per Definition von $\tau $ und $\beta $ erhalten wir $\tau \beta(s) =(m \to \tau (\beta(s))(m) = (r \to \beta(s)(rm)=s(rm)(1)))$. daher $\tau \beta(s)(m) =(r \to s(rm)(1))$. Die eine Richtung also soweit so gut. Falls jedoch $\tau \beta = id$ gelte, so $(r \to s(m)(r)) = s(m) = id(s)(m) = \tau \beta(s)(m) =(r \to s(rm)(1))$. Also sollte gezeigt werden, dass für alle $r \in R, m \in M$ stets $s(m)(r) =s(rm)(1))$ gilt. Da $s \in \operatorname{Hom}_{R-Mod}(M,\operatorname{Hom}_{Ab}(M,A))$, haben wir $ s(rm)(1)) = r* s(m)(1)$, jedoch $s(m) \in \operatorname{Hom}_{Ab}(M,A) $ ist ja i.A. nicht aus $\operatorname{Hom}_{R-Mod}(M,A)$, so sehen ich keine Möglichkeit r aus (rm) ins (1) "durchzutunneln". Ideen wie ich das Argument reparieren könnte? Gruß Karl


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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2017-07-04

Du hast einen Tippfehler, es ist $\hom_{R-Mod}(R,Hom_{Ab}(M,A))$ gemeint. Anstelle eines Ringes $A$ ist übrigens irgendeine abelsche Gruppe hier zugelassen. Wiederhole die $R$-(Rechts)Modul-Struktur auf $Hom_{Ab}(M,A)$, dann sollte die fehlende Gleichung klar werden.


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KarlRuprecht
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-07

Hi, sorry dass ich mich so spät wieder zurückmelde. Hatte noch viel um die Ohren. 1) Hast Recht, hab mich vertippt, jedoch meinst du sicher $ \operatorname{Hom}_{R-Mod}(M,\operatorname{Hom}_{Ab}(R,A)) $ und nicht $ \operatorname{Hom}_{R-Mod}(R,\operatorname{Hom}_{Ab}(M,A)) $, oder? 2) Bin nicht sicher ob ich dein Tipp richtig verstehe. Meinst du damit, dass dadurch, dass M ein R-Modul (also insb. abelsche Gruppe) ist, $\operatorname{Hom}_{Ab}(M,A)$ kanonisch eine $R-Mod $- Struktur erbt? Also für $R = \mathbb{Z} $ ist es klar, jedoch für allgem. $R $ sei es mir nicht ersichtlich. Oder meinst du, dass man eine $R-Mod $ Struktur auf $\operatorname{Hom}_{Ab}(M,A)$ erklären (also erst "willkürlich" definieren, nicht schließen) könnte, die mit der ursprünglichen Gruppenstruktur verträglich ist? In diesem Falle würde ja die R-Modul-Addition der ursprünglichen Gruppenoperation entsprechen. Dann muss ich den Einspruch erheben, dass dort doch etwas verloren geht, es gilt doch höchstens $\operatorname{Hom}_{R-Mod}(M,A) \subset \operatorname{Hom}_{Ab}(M,A) = \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}-Mod}(M,A)$, nicht?


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KarlRuprecht
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-10

Achso, meinst du etwa sowas? http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/47555_bimodulTriz2.png


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