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 Reelles Fundamentalsystem und AWP |
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Studyon
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 09.12.2013
Mitteilungen: 242
 |  Themenstart: 2017-07-22
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Ich schreibe nächste Woche DGL und bin aus verschiedensten Gründen viel zu schlecht vorbereitet.
über jede hilfe wäre ich tres mercy !
Aufgaben
a) y'''-y''-5y'-3y= 0
b) y'''-2y''+4y'-8y=0
Lösung:
Char Polynom:
a) x^3-x^2-5x-3 = 0
=> nullstellen (-1,-1,3)
=> Fundamentalsystem = { e^(-t) , t*e^(-t), e^(3t) }
=> Funktion = a*e^(-t) + bt*e^(-t) + c*e^(3t)
b) x^3-2y^2+4y-8
=> Nullstellen (2,2i,-2i)
=> Fundamentalsystem { e^(2t) , e^(2it) , e^(-2it)}
=> reelles System = {e^2t, cos(2x),sin(2x)}
=> Funktion = a*e^2t + b*cos(2x)+ c*sin(2x)
FRAGE: korrekt?
Teil 2:
Bestimme maximale Lösung folgender AWP
a) y' = sin(t)*y , y_0 = y(0)
<=> int(1/u,u,f(y_0),f(y)) = int(sin(t),t,t_0,t)
<=> ln(y(t)) - ln(y_0) = -cos(t) + cos(0)
<=> y(t)/y_0 = e^(-cos(t) + 1)
<=> y(t) = y_0 * e^(-cos(t) + 1)
Korrekt? was bedeutet jetzt maximale Lösung? y(t) istfür alle t definiert und y(t) \el\ [y_0 , y_0 * e^2]
b) y' = t*(1+y^2) , y_0 = 0
<=> y' / (1+y^2) = t
<=> arctan(y(t)) - arctan(0) = 1/2 t^2 - 0
<=> arctan(y(t)) = 1/2 t^2
<=> y(t) = tan (1/2 * t^2 )
Frage: betrachte ich hier jetzt das Intervall [0 , 1/2 pi)?
Was bedeutet maximale Lösung?
c) z' = iz + e^(iwt) , w!= 1
Die Aufgabe verwirrt mich komplett
gehe ich hier so vor:
<=> z' / ( iz + e^(iwt)) = 1
<=> int(1/(iu+e^(iwt)),u,z(t_0),z(t)) = t-t_0
bevor ich hier weiter zeit reinstecke wollte ich lieber erstmal fragen ob ich auf dem richtigen Weg bin
?
vielen dank schonmal an die potentiellen helfer
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haerter
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Dabei seit: 07.11.2008
Mitteilungen: 1744
Wohnort: Bochum
| Beitrag No.1, eingetragen 2017-07-22
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Hallo,
Teil 1 nur Kleinigkeiten:
Im Fundamentalsystem von (a) fehlt ein t bei $t\cdot e^{-t}$, in der Lösung ist es dann aber da. Bei (b) sollte es $\cos(2t)$ statt $\cos(2x)$ etc. heißen.
Bei Teil 2 bedeutet maximale Lösung bei (a), dass die Lsg. für alle $t\in\mathbb{R}$ definiert ist.
Bei (b) nehme ich an, dass $y_0=0$ bedeutet, dass $y(0)=0$ sein soll, Du musst also überlegen, in welchem Intervall(!) die Lösung definiert ist, wenn $t=0$ in diesem Intervall liegt.
(c) ist eine inhomogene, lineare DGL, da hast Du bestimmt auch ein Rezept dafür...
Viele Grüße,
haerter
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Studyon
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Dabei seit: 09.12.2013
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-07-22
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vielen dank haerter,
tangens ist auf (-\pi/2 , \pi/2) definiert,
also ist die funktion für alle t definiert, für die gilt:
abs(1/2*t^2) < 1/2 \pi
da stellt sich mir die Frage ob die Lösung aus \IR oder \IC ist.
aus \IR wäre die Funktion dann auf auf ( -sqrt(\pi), sqrt(\pi)) definiert
auf \IC dann für (-sqrt(\pi)*e^(i*\phi), sqrt(\pi)*e^(i*\phi) )
zu c)
ja klar, danke
\phi(t) = ( z_0 + int( b(t)*e^(-A(t)) ,t,t_0,t )) * e^A(t)
mit A(t) = int(a(t),t,t_0,t)
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haerter
Senior
Dabei seit: 07.11.2008
Mitteilungen: 1744
Wohnort: Bochum
| Beitrag No.3, eingetragen 2017-07-23
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Hallo,
jau, sieht doch ganz gut aus bis auf kleinere Tippfehler ( (t) sollte in den Exponenten und die Integrationsvariable sollte man nicht t nennen, wenn t schon die Obergrenze ist).
bei 2.(b) geht es um die reelle Lösung, wenn in der Aufgabenstellung alles reell ist und nichts anderes angesagt ist.
2(c) muss man dann halt noch ausführen...
Viele Grüße,
haerter
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