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Universität/Hochschule Tensorprodukte über Moduln
Erratis
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  Themenstart: 2017-08-02

Hallo Leute :-) Da während des Studiums immer wieder Tensorprodukte erwähnt werden und alle einfach erwarten, dass man weiss was sie sind, wollte ich sie mir im Selbststudium näherbringen. Im Buch Algebra von Thomas W. Hungerford wird das Tensorprodukt definiert als: Wir nehmen ein Rechtsmodul A, ein Linksmodul B über dem Ring R und F als die "free abelian group on the set AxB" K ist die Untergruppe von F die durch die folgenden Elemente erzeugt wird: $ a,a'\in A , b,b'\in B , r\in R \\ 1) (a + a',b) - (a,b) - (a',b) \\ 2) (a,b+b') - (a,b) - (a,b')\\ 3) (ar,b) - (a,rb)\\ $ Der Quotient F/K ist das Tensorprodukt von A und B. Wenn es eine freie, abelsche Gruppe ist: Was ist die Basis? Es muss ja als Z-Modul eine Basis haben. Es steht hier, dass es von allen Tupeln von AxB erzeugt wird. Aber ich habe doch zB 2*(a,b) = (a,b) + (a,b) = (a+a,b+b) mit der Verknüpfung im Produkt. Wo liegt mein Fehler der Kenntnis der Definitionen?


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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2017-08-02

Der Autor verwechselt die abelsche Gruppe $A$ mit ihrer Trägermenge $U(A)$. Du verwechselst die freie abelsche Gruppe auf $U(A) \times U(B)$ mit der abelschen Gruppe $A \times B$. In $A \times B$ gilt $2(a,b) = (2a,2b)$, in der freien abelschen Gruppe auf $U(A) \times U(B)$ gilt $2(a,b) \neq (2a,2b)$ und $2(a,b) \neq (2a,b)$, im Tensorprodukt $A \otimes B$ gilt $2(a \otimes b) = 2a \otimes b$. Der Autor verwechselt außerdem Konstruktion mit Definition. Die Definition des Tensorproduktes ist die universelle Eigenschaft. Auf dem Matheplaneten wurden einige Artikel zu Tensorprodukten geschrieben (diese behandeln allerdings eher Moduln über einem kommutativen Ring): http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1515 http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1064 Ich kann auch Abschnitt 5.3 im Buch "Einführung in die Kategorientheorie" (Springer, 2015) empfehlen.


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Erratis
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-08-02

Vielen Dank Triceratops. Ich werde mir die Artikel mal zu Gemüte führen :-) Bei weiteren Verständnisfragen melde ich mich nochmal!


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