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Funktionentheorie » Holomorphie » Biholomorphie einer Möbiustransformation
Autor
Universität/Hochschule J Biholomorphie einer Möbiustransformation
mrjacobs
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  Themenstart: 2017-08-11

Guten Mittag zusammen, ich gehe im Rahmen der Vorbereitung zur Funktionentheorie Klausur ein paar Übungsaufgaben, die relevant sein werden, durch. Hier heißt es:
Zeigen Sie, dass $\displaystyle f(z)=\frac{z+1}{z-1}$ die Menge $\mathbb{C}\setminus\{-1\}$ holomorph und bijektiv auf sich selbst abbildet.
Die Bijektivität ist kein Problem und klar, da die Möbius-Transformation selbst invers ist. Jedoch steht bei mir in den Lösungen folgendes:
$z, z-1, z+1$ sind holomorph. $\frac{1}{z-1}$ ist holomorph auf $\mathbb{C}\setminus\{-1\}$, da $z-1=0 \Leftrightarrow z=1$.
Hier stimmt doch irgendwas nicht oder? Die einfache Polstelle liegt doch bei 1, was ja auch die Umformung zeigt. Wieso ist dann $\frac{1}{z-1}$ holomorph auf $\mathbb{C}\setminus\{-1\}$? Wenn hier ein Fehler vorliegt, warum ist $f$ denn dann holomorph auf $\mathbb{C}\setminus\{-1\}$? Ich danke euch! Grüße, Jacob

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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2017-08-11

Das ist wohl ein Tippfehler, gemeint ist $\mathds{C} \setminus \{1\}$. Ansonsten ist $f$ nicht einmal wohldefiniert.

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mrjacobs
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-08-12

Okay, gut. Vielen Dank!

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