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| Autor |
  Anwendung des Satzes von Rouché |
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yafoo
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 29.04.2016
Mitteilungen: 194
Wohnort: NRW
 |  Themenstart: 2017-08-19
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Hallo zusammen,
ich bereite mich für die anstehende Funktionentheorie Klausur vor und beschäftige mich gerade ein wenig mit dem Satz von Rouché. Wir haben die Satz in der folgenden Form formuliert:
Sei $B\subset C$ offen,$ f : B \to C$ holomorph und $G\subset\subset B$ (relativ kompakt) ein positiv berandetes, einfach zusammenhängendes Gebiet.
Ist $h$ eine weitere holomorphe Funktion auf $B$ und $|h(z)| < |f(z)|$ auf $\partial G$, so haben $f$und $ f + h$ gleich viele Nullstellen (mit Vielfachheit) in $G$.
Ich bin mir noch nicht wirklich sicher, wie ich die Funktionen zerlegen muss. Folgende Aufgabe wollte ich lösen:
Wieviele Nullstellen hat die Funktion $z^4-5z+1=0$
(i) im Kreisgebiet $\{z\in\mathbb{C}:\vert z\vert <1\}$
(ii) im Ringgebiet $\{z\in\mathbb{C}:1<\vert z\vert <2\}$
(iii) im Außengebiet $\{z\in\mathbb{C}: \vert z\vert >2\}$?
Bleiben wir erstmal nur bei (i). Laut Lösung wurde jetzt die Funktion in $f(z)=z^4-1$ und $g(z)=-5z$ zerlegt. Ich habe jedoch $z^4-5z$ und $-1$ gewählt und folgende Abschätzung für $\vert z\vert =1$ gemacht:
$\displaystyle \vert f(z)\vert \leq \vert z\vert^4 -5\vert z\vert = -4 < \vert g(z) \vert = 1$
Warum ist das nicht zulässig? Und allgemeiner gefragt: wie gehe ich am besten vor, d.h. wie wähle ich die Teilfunktionen am besten aus?
Danke euch und Grüße
yafoo
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Bai
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2017-08-19
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Hi,
deine Abschätzung ist falsch (was dir auch daran hätte auffallen können, dass der Betrag negativ wird).
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yafoo
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 29.04.2016
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-08-19
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Danke Bai für deine Antwort!
Ja, stimmt natürlich. Es müsste doch so sein:
$\displaystyle \vert z^4 -5z\vert \leq \vert z^4 \vert + \vert 5z\vert$
Dann würde das mit $g$ auch nicht mehr funktionieren. Sehe ich ein. Nur wie erkenne ich das am besten? Einfach schauen ob eine Abschätzung passt?
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Bai
Senior
Dabei seit: 11.09.2014
Mitteilungen: 1258
| Beitrag No.3, eingetragen 2017-08-19
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\quoteon(2017-08-19 15:41 - yafoo in Beitrag No. 2)
Nur wie erkenne ich das am besten? Einfach schauen ob eine Abschätzung passt?
\quoteoff
Leider ja, aber die diesen Satz thematisierenden Aufgaben sind eigentlich alle gleich: Polynome auf Ringen um die 0.
Für den kleineren Kreis (oft von Radius 1) genügt es meist, das Monom mit dem größten Koeffizienten zu isolieren und für den größeren Kreis das mit dem größten Exponenten.
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yafoo
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-08-19
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Okay, danke dir für den Tipp!
Abschließend noch:
Stellt man bei der Abschätzung fest, dass die Ungleichung gilt, dann weiß man automatisch, dass die Summe der Teilfunktionen die Anzahl der Nullstellen ist?
Und bei der geposteten Aufgabe unterscheidet sich dann das Vorgehen lediglich im Einsetzen des $z$ auf dem jeweiligen Gebiet?
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Bai
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| Beitrag No.5, eingetragen 2017-08-19
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\quoteon(2017-08-19 16:24 - yafoo in Beitrag No. 4)
Stellt man bei der Abschätzung fest, dass die Ungleichung gilt, dann weiß man automatisch, dass die Summe der Teilfunktionen die Anzahl der Nullstellen ist?
\quoteoff
Ich glaube nicht, dass ich diese Frage verstehe. Wie soll denn eine Summe von Funktionen einer Anzahl von Nullstellen entsprechen? Meintest du die Anzahl der Summanden? Dann hättest du schon beim vorliegenden Beispiel eine Nullstelle in $D_1(0)$, aber zwei Summanden.
\quoteon(2017-08-19 16:24 - yafoo in Beitrag No. 4)
Und bei der geposteten Aufgabe unterscheidet sich dann das Vorgehen lediglich im Einsetzen des $z$ auf dem jeweiligen Gebiet?
\quoteoff
Ja, und eben in der unterschiedlichen Zerlegung. Wobei Aufgabe 3 ja dann direkt aus dem Fundamentalsatz und den ersten beiden folgt.
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yafoo
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-08-19
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\quoteon(2017-08-19 16:41 - Bai in Beitrag No. 5)
Ich glaube nicht, dass ich diese Frage verstehe. Wie soll denn eine Summe von Funktionen einer Anzahl von Nullstellen entsprechen? Meintest du die Anzahl der Summanden? Dann hättest du schon beim vorliegenden Beispiel eine Nullstelle in $D_1(0)$, aber zwei Summanden.
\quoteoff
Sorry, war blöd formuliert. Die Summe der Nullstellen der jeweiligen Teilfunktionen. Aber genau, das meinte ich. Danke!
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