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Strukturen und Algebra » Algebraische Geometrie » Kaehler Differentiale als Quotient des Diagonalideals
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Universität/Hochschule J Kaehler Differentiale als Quotient des Diagonalideals
xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-09-16


Hallo liebes Forum.
Ich moechte auf etwas zurueckkommen, was mir schon laengst klar sein sollte, ich aber immernoch nicht verstanden habe.

Etwas laenger her ganz am Anfang der Vorlesung Alggeom2 hatten wir im Zusammenhang mit dem Thema Glattheit gezeigt,  dass <math>\Omega^1_{A/R}\cong I/I^2</math> gilt, wo <math>\Omega^1_{A/R}</math> ueber die Universelle Eigenschaft <math>Hom_A(\Omega^1_{A/R},-)\cong Der_R(A,-)</math> definiert wurde (und als geeigneter Quotient freier Moduln konstruiert wurde), und <math>I:=ker(A\otimes_R A\to A;a\otimes a"\mapsto aa")</math> das Ideal des Diagomalmorphismus ist.

Hierzu wurden zwei zueinander inverse Morphismen konstruiert:
Die Konstruktion von <math>\Omega^1_{A/R}\to I/I^2</math> ist recht trivial. Dieser ist durch die <math>R</math>-Derivation <math>A\to I/I^2;a\mapsto 1\otimes a-a\otimes 1</math> eindeutig bestimmt.

Um den hierzu inversen <math>A</math>-Modul Morphismus <math>I/I^2\to \Omega^1_{A/R}</math> zu konstruieren hat man zuerst einen <math>A</math>-Algebra Morphismus <math>A\otimes_R A\to A[\Omega^1_{A/R}]</math> konstruiert, welcher dann den gewuenschten <math>A</math>-Modul Morphismus <math>I/I^2\to \Omega^1_{A/R}</math> gibt.

Ich verstehe, dass der Beweis funktioniert, denn das kann ich einfach nachrechnen, aber ich verstehe nicht <math>100</math> Prozent warum der Beweis funktioniert. Meine Intuition ist, dass man die Universelle Eigenschaft des Tensorprodukts als Koprodukt in der Kategorie der <math>R</math> Algebren ausnutzen moechte, dass aber nicht ohne weiteres geht, da <math>\Omega^1_{A/R}</math> gar keine Algebra ist. Daher braucht man eine <math>A</math>-Algebra <math>A\to B</math> die <math>\Omega^1_{A/R}</math> in gewisser Weise "annaehert/repraesentiert". Hierzu konstruiert man <math>A[\Omega^1_{A/R}]:=A\oplus\eps\Omega^1_{A/R}</math>. Dann konstruiert man einen Morphismus <math>I/I^2\to A[\Omega^1_{A/R}]</math>. Verkettet mit der Projektion <math>A[\Omega^1_{A/R}]\to \Omega^1_{A/R}</math> erhaelt man dann den Morphismus <math>I/I^2\to \Omega^1_{A/R}</math>.

Mir kommt diese Vorgehensweise immernoch so vor wie "vom Himmel gefallen", da ich mir nicht erklaeren kann, wie man darauf kommt.

Meine Fragen sind deshalb (der Prioritaet nach geordnet):

1. Wie motiviert sich die obige Vorgehensweise zur Konstruktion des Inversen mit Hilfe der Konstruktion <math>A[\Omega^1_{A/R}]?</math>

2. Was ist die Universelle Eigenschaft von <math>A[M]=A\oplus \eps M</math> im Allgemeinen ?

3. Gibt es einen Namen fuer die Konstruktion <math>A[M]</math> unter dem ich mehr ueber das Thema herausfinden koennte?

4. Es waere auch sehr aufschlussreich zu verstehen was <math>A[\Omega^1_{A/R}]</math> geometrisch bedeutet.

5. Was ist die Beziehung von <math>A[M]</math> zu den Dualen Zahlen?

Das sind viele Fragen. Am wichtigsten ist es fuer mich 1. und 2. zu verstehen. Die restlichen Fragen interessieren mich jedoch auch sehr. Vielleicht kennt sich jemand sehr gut mit dem Thema aus oder kann mir hierzu Literaturhinweise empfehlen!?

Ich freue mich auf jeden Fall sehr ueber Eure Antworten!

Liebe Gruesse und vielen Dank fuer Eure Muehe mit mir =)
Daniel



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-09-16


2. Einerseits gibt es die universelle Eigenschaft

<math>\hom_{\mathsf{CAlg}_A}(A[M],B) \cong \{f \in \hom_{\mathsf{Mod}_A}(M,B) : f(M) \cdot f(M) = \{0\}\}</math>

für <math>B \in \mathsf{CAlg}_A</math> und <math>M \in \mathsf{Mod}_A</math>. Man kann dies auch als Manifestation von

<math>A[M] \cong \mathrm{Sym}(M) / \mathrm{Sym}_{\geq 2}(M)</math>

ansehen. Aber dich interessiert wohl anscheinend die andere Richtung:

<math>\displaystyle\hom_{\mathsf{CAlg}_A}(B,A[M]) \cong \prod_{\mathlarger{\phi \in \hom_{\mathsf{CAlg}_A}(B,A)}} \mathrm{Der}_A(B,M_{\phi}).</math>
 
Dabei bezeichnet <math>M_{\phi}</math> den <math>B</math>-Modul, der durch Skalarrestriktion bezüglich <math>\phi</math> aus <math>M</math> hervorgeht. Die Bijektion sieht so aus: Ist <math>\alpha : B \to A[M]</math> ein <math>A</math>-Algebra-Homomorphismus, so ist <math>\phi := p\alpha : B \to A</math> (wobei <math>p</math> die Projektion sei) ein <math>A</math>-Algebra-Homomorphismus, und wir können <math>\alpha(b)=\phi(b) + \varepsilon \beta(b)</math> für eine <math>A</math>-lineare Abbildung <math>\beta : B \to M</math> schreiben. Dass <math>\alpha</math> multiplikativ ist, bedeutet gerade, dass <math>\beta</math> eine Derivation ist.

Etwas prägnanter kann man die universelle Eigenschaft in der Komma-Kategorie <math>\mathsf{CAlg}_A / A</math> formulieren:

<math>\displaystyle\hom_{\mathsf{CAlg}_A / A}((B,\phi),(A[M],p)) \cong \mathrm{Der}_A(B,M_{\phi}).</math>
 
Die rechte Seite kann man wiederum mit der Definition von <math>\Omega^1_{B/A}</math> umschreiben:

<math>\displaystyle\hom_{\mathsf{CAlg}_A / A}((B,\phi),(A[M],p)) \cong \hom_{\mathsf{Mod}_B}(\Omega^1_{B/A},M_{\phi}).</math>
 
3. In der englischen Literatur nennt man <math>A[M]</math> eine "square-zero extension" von <math>A</math>.

5. Die Algebra der dualen Zahlen entspricht dem Spezialfall <math>M=A</math>.

Zu den anderen Fragen schreibe ich vielleicht auch noch etwas. Wenn du an einem anderen Beweis für <math>I/I^2 \cong \Omega^1_{A/R}</math> interessiert bist, der ohne Rechnungen mit Elementen und auch ohne die Hilfskonstruktion <math>A[M]</math> auskommt, melde dich; dann schreibe ich etwas dazu. Weil das aber etwas länger wird, muss ich wissen, ob echtes Interesse daran besteht. Im AG-Buch von Bosch steht indes noch ein weiterer Beweis für die Isomorphie.



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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-16


Vielen Dank!

Wie immer ist diese Antwort sehr aufschlussreich.
Ich hatte versucht die Universelle Eigenschaft zu "erraten", ohne Erfolg.

Dass es eine Beziehung zur Symmetrischen Algebra gibt dachte ich mir zwar schon, konnte diese aber nicht herausfinden.

Ich interessiere mich auf jeden Fall für einen Beweis für die Isomorphie, welcher ohne Elemente und ohne die Konstruktion <math>A[\Omega^1_{A/R}]</math> auskommt!

Ich versuche manchmal selber "schönere" Beweise für bereits bekannte Aussagen zu finden, die ohne Elemente auskommen, schaffe es aber ehrlichgesagt eher selten einen zu finden.

lg Daniel

Edit: Endlich weiß Ich wie man die Deutsche Tastatur einstellt.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-09-16


Bei meinem Ansatz muss man doch etwas rechnen, aber was mir daran gefällt, ist dass die Isomorphie "geradeaus" hergeleitet wird.
 
Vereinbarung: <math>A \otimes A</math> wird als <math>A</math>-Modul via <math>\iota_1 : a \mapsto a \otimes 1</math> (nicht <math>\iota_2</math>) aufgefasst, und <math>A</math> wird als <math>A \otimes A</math>-Modul via <math>m : A \otimes A \to A</math>, <math>a \otimes a" \mapsto a \, a"</math> aufgefasst.

Weil <math>m</math> surjektiv ist, gibt es einen Isomorphismus von <math>A \otimes A</math>-Moduln <math>(A \otimes A)/I \cong A</math>. Daraus ergibt sich ein Isomorphismus von <math>A</math>-Moduln

<math>I/I^2 \cong I \otimes_{A \otimes A} (A \otimes A)/I \cong I \otimes_{A \otimes A} A.</math>

Als nächstes müssen wir <math>I</math> als <math>A \otimes A</math>-Modul präsentieren (also Erzeuger und Relationen finden). Dieser Schritt wird im AG-Buch von Bosch per Hand gemacht, aber man kann es auch so machen: Es gibt eine exakte Sequenz von <math>R</math>-Moduln

<math>A \otimes A \otimes A \xrightarrow{m_2} A \otimes A \xrightarrow{m} A \to 0</math>
 
mit <math>m_2(a \otimes b \otimes c) = ab \otimes c - a \otimes bc</math>. Denn der Kokern von <math>m_2</math> ist gerade <math>A \otimes_{A} A \cong A</math>. Mittels <math>A \otimes A \to A \otimes A \otimes A</math>, <math>a \otimes c \mapsto a \otimes 1 \otimes c</math> wird <math>m_2</math> auch <math>A \otimes A</math>-linear, und <math>m</math> ist es sowieso. Also gibt es einen Isomorphismus <math>\mathrm{Bild}(m_2) \cong \ker(m) = I</math>. Insbesondere haben wir einen Epimorphismus <math>m_2 : A \otimes A \otimes A \to I</math>. Das sind unsere Erzeuger von <math>I</math>. Um die Relationen zu bekommen, müssen wir die exakte Sequenz nach links fortsetzen. Tatsächlich gibt es eine unendlich lange exakte Sequenz von <math>A \otimes A</math>-Moduln <math>(A^{\otimes n})_{n \geq 1}</math> mit den Differentialen

<math>m_n : A^{\otimes (n+1)} \to A^{\otimes n},\, a_0 \otimes \cdots \otimes a_n \mapsto \sum_{i=0}^{n-1} (-1)^i a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_i a_{i+1} \otimes \cdots \otimes a_n.</math>
 
Die Exaktheit folgt daraus, dass der Komplex sogar zusammenziehbar ist (also homotopie-äquivalent zum Nullkomplex); eine Kontraktion kann man explizit hinschreiben. Man benutzt dabei natürlich die Eins der Algebra (die bei den Differentialen noch nicht vorkam). Tatsächlich kann man diese exakte Sequenz auch mit simplizialen Methoden gewinnen, aber das führt hier zu weit. Was wir davon nur brauchen, ist die exakte Sequenz
 
<math>A \otimes A \otimes A \otimes A \xrightarrow{m_3} A \otimes A \otimes A \xrightarrow{m_2} A \otimes A \xrightarrow{m} A \to 0,</math>
 
die uns eine exakte Sequenz

<math>A \otimes A \otimes A \otimes A \xrightarrow{m_3} A \otimes A \otimes A \xrightarrow{m_2} I \xrightarrow{~} 0</math>
 
liefert. Wenden wir jetzt den rechtsexakten Funktor <math>T \mapsto  T \otimes_{A \otimes A} A = T/IT </math> an, so ergibt sich eine exakte Sequenz von <math>A</math>-Moduln

<math>A \otimes A \otimes A \xrightarrow{\psi} A \otimes A \to I/I^2 \to 0.</math>
 
Dabei ist (das muss man sich mit den Identifikationen klarmachen) <math>\psi(a \otimes b \otimes c) = a \otimes bc - (ab \otimes c + ac \otimes b)</math>. Zur Erinnerung: <math>A</math> wirkt "vorne" auf dem Tensorprodukt, daher ist <math>\psi</math> tatsächlich <math>A</math>-linear.
 
Der Punkt ist nun: Der Kokern von <math>\psi</math> erfüllt die universelle Eigenschaft von <math>\Omega^1_{A/R}</math>! Das ist nicht nur eine interessante Eigenschaft dieses Moduls, sondern kann auch als Existenzbeweis genutzt werden. Zum Beweis der universellen Eigenschaft benutzt man im Wesentlichen die Adjunktion zwischen <math>A \otimes - : \mathsf{Mod}_R \to \mathsf{Mod}_A</math> und dem Vergissfunktor. Für <math>A</math>-Moduln <math>M</math> hat man

<math>\hom_A(\mathrm{coker}(\psi),M)  \cong \{\alpha \in \hom_A(A \otimes A,M) : \alpha(a \otimes bc) = \alpha(ab \otimes c) + \alpha(ac \otimes b)\}</math>

<math>\cong \{D \in \hom_R(A,M) : a D(bc) = ab D(c) + ac D(b)\} = \mathrm{Der}_R(A,M).</math>
 
Der Kokern von <math>\psi</math> ist also sowohl <math>\Omega^1_{A/R}</math> als auch <math>I/I^2</math>. Das zeigt <math>\Omega^1_{A/R} \cong I/I^2</math>.



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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-16


Hallo Triceratops! Vielen Dank fuer die Muehe das alles aufzuschreiben. Ich lese es mir jetzt durch, brauche aber vermutlich ein Weilchen um es zu verdauen😌.
lg Daniel



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Hallo Triceratops.

Jetzt habe ich den Beweis verstanden. Ein wirklich sehr schöner Beweis! Ich kann mir ungefähr erklären, wie man auf den Beweis kommen könnte, aber selbst wäre ich nicht darauf gekommen. Ich verstehe es so, dass man mit der Idee beginnt <math>Hom_A(I/I^2,-)\cong Der_R(A,)</math> beweisen zu wollen. Das geht aber nicht "straightforward" und hier hilft aber die Präsentation: <math>A\otimes A\otimes A\to A\otimes A\to I/I^2\to 0</math> weiter. Wahrscheinlich braucht man viel Erfahrung, um so einen Beweis zu finden.

Vielen Dank für die Mühe,
lg Daniel



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