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Universität/Hochschule J Frage zu einem Beweis zur Faserstruktur
KarlRuprecht
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-09-29


Guten Abend,

hätte da mal wieder ein Paar Fragen zu einem Beweis aus Liu's AlGeo (Referenz: Seite 201):




Erstens: Wieso ist <math> B = A[T] / (P(T))</math>  flach als A-Modul?

Meine Überlegung: Eigentlich sei es zunächst scheinbar klar, weil <math> P(T)</math> monisch ist. Was mich bezüglich dieses Arguments jedoch zum Grübeln gebracht hat, ist, dass <math> P(T)</math>  doch auch Irreduzibilität von seinem Bild <math>\tilde{P}(T)</math> vererbt bekommt. Somit müsste <math> P(T)</math> automatisch von Grad 1 sein, was mir iwie seltsam erscheint.
 
Alternative (vemutlich elegantere) Überlegung: Da <math> A[T]</math> flach und jene bei Basiswechsel erhalten bleibt, muss B wegen <math> B \cong A[X]\otimes_A (k(y)[T]/ (\tilde{P}(T)))</math> flach bleiben oder nicht?



Zweitens: Wieso liefert 3.1.24 die Isomorphie <math> O_{Spec B} \cong q_* O_{X_B}</math>?

Hier die Aussage:





Und drittens: Wieso ist die Faser über den abg. Punkt von <math> Spec(B)</math> isomorph zu <math>X_y \times_{Spec k(y)} Spec E </math>?

Ich weiß, dass die Faser per Def. als <math>X_B \times _{Spec B} Spec \ \bar{k}(p)</math> (Quelle: dieselbe, S. 83), wobei <math> \bar{k}(p)</math> der Restekörper zu <math> \mathcal{O}_{Spec B, p} </math> sei, jedoch sehe ich nicht, wie die Isomorphie zum oberen Ausdruck zustandekommt.

Gruß
Karl






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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-09-29


1) Weil <math>P</math> normiert ist, ist <math>A[T]/P(T)</math> bekanntlich ein freier <math>A</math>-Modul mit Basis <math>\{T^i : 0 \leq i < \deg(P)\}</math>. Freie Moduln sind flach.

Wieso sollten irreduzible Polynome immer Grad 1 haben? Bei deiner Alternative hast du den Grundring beim Begriff der Flachheit übersehen.

2) Das folgt aus Cor. 4.4.3. weil <math>q</math> projektiv ist.

3) Es gilt

<math>X_y \times_{\mathrm{Spec}(k(y))} \mathrm{Spec}(E)
\cong (X \times_{\mathrm{Spec}(A)} \mathrm{Spec}(k(y))) \times_{\mathrm{Spec}(k(y))} \mathrm{Spec}(E)\medskip\\
\cong X \times_{\mathrm{Spec}(A)} \mathrm{Spec}(E)
\cong X_B \times_{\mathrm{Spec}(B)} \mathrm{Spec}(E).</math>
 
Beachte nun noch <math>E = k(p)</math>.



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KarlRuprecht
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-29


Hey, danke für die Antwort.
Zu 1) Ich meinte irreduzible monische Polynome in einer Var.
3) Wieso gilt <math> E = k(p) </math>?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-09-29


1) Ja, warum sollten die Grad <math>1</math> haben? <math>X^2+1 \in \mathds{R}[X]</math> ist irreduzibel.
3) Was hast du dir bisher überlegt dazu? Ist dir klar, wie das maximale Ideal von <math>B</math> aussieht? Was kommt heraus, wenn man es herausteilt?



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KarlRuprecht
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-29


*hab vorher Quatsch geschrieben




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KarlRuprecht
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-29


Leider ist mir nicht ganz klar wie das max Ideal von B aussieht. Du möchtest vermutlich darauf hinaus, dass wenn man es rauteilt gerade E rauskommt, oder?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2017-09-29


Wenn <math>\mathfrak{m}_y</math> das maximale Ideal von <math>A</math> ist (also letztlich der Punkt <math>y</math>), dann ist <math>\mathfrak{m}_y B</math> das maximale Ideal von <math>B</math> und der Restklassenkörper ist <math>E</math>. Denn es gilt <math>B/\mathfrak{m}_y B = A/\mathfrak{m}_y [T]/\langle \overline{P}(T) \rangle = E</math>. (Es muss noch gezeigt werden, dass es das einzige maximale Ideal ist.)



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KarlRuprecht
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-29


Ja, top. Alles klar, vielen Dank.



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KarlRuprecht hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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