Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Algebraische Geometrie » Induzierte invertierbare Garbe
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Induzierte invertierbare Garbe
KarlRuprecht
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.03.2017
Mitteilungen: 191
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-10-15


Hallo,

hätte da mal wieder ein paar Fragen zu einem Beweis aus Liu's "Algebraic Geomerty" auf Seite 261, nämlich Prop. 7.1.32:






Wieso ist <math> \tilde{N}</math>  eine invertierbare Garbe über <math> SpecB </math> ?

Dabei verstehe ich unter einer invertierbearen Garbe <math>\mathcal{L}</math> eine lokal freie Modulgarbe vom Rang 1. daher sodass für alle <math>x \in X</math> eine Umgebung U existiert, mit <math>\mathcal{L}|_U \cong \mathcal{O}_X |_U</math>.

Weiterhin, wenn ich dies nicht mit etwas anderem verwechsle, so ist der <math>O_{SpecB}</math>-Modul <math>\tilde{N}</math> definiert lokal über <math>\tilde{N}(D(f) := N_f</math> für die elemetaroffenen <math>D(f)</math> von <math>SpecB</math> (vgl. Seite 159). Jedeoch ersehe ich daraus nicht den Grund für Invertierbarkeit von <math> \tilde{N}</math>.
(vgl. S. 159).

Das einzige scheinbar plausible Argument scheint mir darin zu liegen, dass man <math> U</math> bereits nicht nur affin, sondern klein genug gewählt hat, sodass <math> \mathcal{L}|_U \cong \mathcal{O}_X|_U</math> gilt. Dies hätte nämlich zur Folge, dass der <math>\mathcal{O}_X(U)</math>-Modulisomorphismus  <math>\mathcal{L}(U) \cong \mathcal{O}_X(U)</math> automatisch gelte und daher ebenso <math> \tilde{N} \cong O_{SpecB}</math> sogar global (!). Doch gerade dieser Schluss macht mich ziemlich stutzig, denn weder wurde solche Forderung an <math>U</math> gestellt, noch müsse ja dies zu einer globalen Isomorphie <math> \tilde{N} \cong O_{SpecB}</math> führen. Außerdem erscheint mir diese Forderung zu stark zu sein.



Und die zweite Frage: Wieso gilt <math> N \cong B</math>?
Nakayama (1.2.9) liefert ja nur die Surjektivität der Multiplikationsabb. <math> B \to Bv=N</math>.

Meine (sehr) wage Vermutung: Man könnte womoglich N und B als direkte Summe von deren Lokalierungen darstellen und die Multiplikation mit v in Solcher ausdrücken. Wenn ich tatsächlich annehme, dass <math>\tilde{N}</math> invertierbar ist, so finde ich Lokaliserungen, wo die obige Multiplikation eine Bijektive Abb. induziert.




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5687
Wohnort: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-10-15


Zur ersten Frage: Es ist <math>\mathcal{L}|_U</math> ein invertierbarer <math>\mathcal{O}_U</math>-Modul. Weil <math>U</math> affin ist, ist <math>\mathcal{M} \mapsto \mathcal{M}(U)</math> bzw. <math>\widetilde{N} \mapsfrom N</math> eine Äquivalenz von monoidalen Kategorien zwischen quasikohärenten <math>\mathcal{O}_U</math>-Moduln und gewöhnlichen <math>\mathcal{O}_X(U)</math>-Moduln; hierbei werden folglich invertierbare Moduln erhalten. Daher ist <math>\mathcal{L}(U)</math> ein invertierbarer <math>\mathcal{O}_X(U)</math>-Modul. Daraus folgt nun, dass die Lokalisierung <math>R^{-1} \mathcal{L}(U)</math> ein invertierbarer <math>R^{-1} \mathcal{O}_X(U)</math>-Modul ist. Es ist nämlich ein allgemeiner Fakt, der sich mit jeder der verschiedenen Charakterisierungen von Invertierbarkeit schnell beweisen lässt:

Ist <math>R \to R"</math> ein Homomorphismus kommutativer Ringe und <math>M</math> ein invertierbarer <math>R</math>-Modul, so ist <math>M \otimes_R R"</math> ein invertierbarer <math>R"</math>-Modul.

Weil <math>R^{-1} \mathcal{L}(U)</math> ein invertierbarer <math>R^{-1} \mathcal{O}_X(U)</math>-Modul ist, folgt wiederum mit der Äquivalenz, dass <math>\widetilde{R^{-1} \mathcal{L}(U)}</math> ein invertierbarer Modul auf <math>\mathrm{Spec}(R^{-1} \mathcal{O}_X(U))</math> ist.

Zur zweiten Frage: Deine Vermutung stimmt nicht. Es ist so, dass jeder surjektive Homomorphismus <math>\mathcal{L} \to \mathcal{L}"</math> zwischen zwei invertierbaren Modulgarben bereits ein Isomorphismus ist. Das reduziert sich nämlich auf die elementare Beobachtung, dass für jeden kommutativen Ring <math>R</math> jeder surjektive <math>R</math>-Modul-Homomorphismus <math>R \to R</math> bereits ein Isomorphismus ist. (Hierbei handelt es sich also um keine Formalität der monoidalen Kategorientheorie: Es gibt sehr wohl monoidale Kategorien mit invertierbaren Objekten <math>\mathcal{L}</math>, die nicht-isomorphe Epimorphismen <math>\mathcal{L} \to \mathcal{L}</math> zulassen.)



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
KarlRuprecht
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.03.2017
Mitteilungen: 191
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-15


Hi, danke für deine wie immer aufschlussreiche Erklärungen. Hätte da jedoch zwei Zwischenfragen:



2017-10-15 13:56 - Triceratops in Beitrag No. 1 schreibt:
Zur ersten Frage: Es ist <math>\mathcal{L}|_U</math> ein invertierbarer <math>\mathcal{O}_U</math>-Modul. Weil <math>U</math> affin ist, ist <math>\mathcal{M} \mapsto \mathcal{M}(U)</math> bzw. <math>\widetilde{N} \mapsfrom N</math> eine Äquivalenz von monoidalen Kategorien zwischen quasikohärenten <math>\mathcal{O}_U</math>-Moduln und gewöhnlichen <math>\mathcal{O}_X(U)</math>-Moduln; hierbei werden folglich invertierbare Moduln erhalten.



Das liefert dann <math>\mathcal{L}|_U \cong  \widetilde{\mathcal{L}(U)} \tilde </math>  ? Weisst du, nebenbei bemerkt, wo man diese Kategorienäquivalenz nachschlagen kann? Harshorne hielt sie leider anscheinend nicht für erwähnenswert oder ich hab sie übersehen :(  



2017-10-15 13:56 - Triceratops in Beitrag No. 1 schreibt:


Es ist so, dass jeder surjektive Homomorphismus <math>\mathcal{L} \to \mathcal{L}"</math> zwischen zwei invertierbaren Modulgarben bereits ein Isomorphismus ist. Das reduziert sich nämlich auf die elementare Beobachtung, dass für jeden kommutativen Ring <math>R</math> jeder surjektive <math>R</math>-Modul-Homomorphismus <math>R \to R</math> bereits ein Isomorphismus ist.




Reduziert sich das wegen Garbenaxiom? Invertierbare Modulgarben besitzen ja offene Überdeckung <math>  {U_i} </math> , sodass jeweils die lokalen Schnitte auf <math>  U_i </math> bis auf Isomorphie den Ringen <math>    \mathcal{O}(U_i )</math> entsprechen und man so die von dir beschriebene Isomorphie <math>    \mathcal{O}(U_i ) \to    \mathcal{O}(U_i )</math> zwischen <math> \mathcal{O}(U_i )</math>-Moduln global liften kann?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5687
Wohnort: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-10-15


Hartshorne ist nur eines von vielen Büchern zur algebraischen Geometrie. Es gibt sehr viele, die gründlicher sind. Aber die Klassifikation der quasikohärenten Garben auf affinen Schemata steht natürlich auch im Hartshorne.

Zur zweiten Frage: Ein Beweis kann nicht mit einer Frage enden. Aber du scheinst es grob verstanden zu haben. Ob du es genau verstanden hast, kannst nur du selbst herausfinden, indem du die Details ausarbeitest.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
KarlRuprecht
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.03.2017
Mitteilungen: 191
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-15


Naja bei der zweiten Frage anscheinend nur fast. Das Problem wäre ja die von dir beschriebnene Isomorphie <math>    \mathcal{O}(U_i ) \to    \mathcal{O}(U_i )</math> zwischen <math> \mathcal{O}(U_i )</math>-Moduln auf den Morphismus <math>B \to N </math> zwischen globalen Schnitten hochzuziehen. Dachte wie im letzten Post an das Garbenaxiom, aber ich müsste noch die <math>\mathcal{O}_B</math>-Modulstruktur berücksichtigen. Hättest du dazu einen Tipp?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5687
Wohnort: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-10-15


Seien <math>M,M"</math> endlich-erzeugte freie <math>R</math>-Moduln vom Rang <math>1</math>. Zeige, dass jeder surjektive Homomorphismus <math>M \to M"</math> schon ein Isomorphismus ist. (Das gilt sogar für beliebige endlich-erzeugte freie <math>R</math>-Moduln eines Ranges <math>n</math>, jedenfalls wenn <math>R</math> kommutativ ist. Aber hier braucht man es nur für diesen Spezialfall <math>n=1</math>.)
 
Wie gesagt gibt es eine Äquivalenz von Kategorien zwischen <math>R</math>-Moduln und quasikohärenten <math>\mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(R)}</math>-Moduln. Wenn also <math>\mathcal{L}</math> ein invertierbarer <math>\mathcal{O}_X</math>-Modul ist, so gibt es eine offene affine Überdeckung <math>X = \bigcup_i X_i</math>, sodass jeweils <math>\mathcal{L}|_{X_i}</math> endlich-erzeugt frei vom Rang <math>1</math> als <math>\mathcal{O}_{X_i}</math>-Modul und daher auch <math>\mathcal{L}(X_i)</math> endlich-erzeugt frei vom Rang <math>1</math> als <math>\mathcal{O}_X(X_i)</math>-Modul ist. Wenn <math>\mathcal{L}"</math> ebenfalls invertierbar ist, können wir die Überdeckung so verfeinern, dass auch jeweils <math>\mathcal{L}"(X_i)</math> endlich-erzeugt frei vom Rang <math>1</math> ist.

Ist nun <math>\mathcal{L} \to \mathcal{L}"</math> ein surjektiver Homomorphismus, so ist jeweils <math>\mathcal{L}(X_i) \to \mathcal{L}"(X_i)</math> ein surjektiver Homomorphismus, und daher ein Isomorphismus. Daher ist <math>\mathcal{L}|_{X_i} \to \mathcal{L}"|_{X_i}</math> ein Isomorphismus. Weil wir es mit einem Homomorphismus von Garben zu tun haben, lässt sich Isomorphie lokal testen; mithin ist <math>\mathcal{L} \to \mathcal{L}"</math> ein Isomorphismus.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
KarlRuprecht
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.03.2017
Mitteilungen: 191
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-15


Dann ist die Modulstruktur also wohl mit Garbenaxiom verträglich, alles klar, danke nochmals.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5687
Wohnort: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-10-15


Ich weiß nicht, ob du das meinst, aber die Skalarmultiplikation <math>\mathcal{O}_X \times \mathcal{M} \to \mathcal{M}</math> einer Modulgarbe ist per Definition ein Garbenmorphismus.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
KarlRuprecht
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.03.2017
Mitteilungen: 191
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-15


Stimmt,genau, das meinte ich urrsprünglich. Der Grund wieso mich dieses Argument mit Garbeneigenschaft etwas irriert sei folgender:

2017-10-15 21:15 - Triceratops in Beitrag No. 5 schreibt:
Ist nun <math>\mathcal{L} \to \mathcal{L}"</math> ein surjektiver Homomorphismus, so ist jeweils <math>\mathcal{L}(X_i) \to \mathcal{L}"(X_i)</math> ein surjektiver Homomorphismus, und daher ein Isomorphismus. Daher ist <math>\mathcal{L}|_{X_i} \to \mathcal{L}"|_{X_i}</math> ein Isomorphismus. Weil wir es mit einem Homomorphismus von Garben zu tun haben, lässt sich Isomorphie lokal testen; mithin ist <math>\mathcal{L} \to \mathcal{L}"</math> ein Isomorphismus.


Du hast ja die Isomorphie von invertierbaren <math>\mathcal{L}, \mathcal{L}"</math> über lokale Isomorphien <math>\mathcal{L}|_{X_i} \to \mathcal{L}"|_{X_i}</math> gezeigt. Wenn ich aber doch z. B. <math>\mathcal{O}_X := \mathcal{L}"</math> betrachte, dann habe ich doch stets per Definition von invertierbaren Garben lokale Isomorphismen, jedoch ist ja im allgemeinen nicht jede invertierbare Garbe über X isomorph zu <math>\mathcal{O}_X </math>. Oder übersehe ich ein entscheidendes Detail in deinem Argument?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5687
Wohnort: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2017-10-16


Du verwechselst hier zwei Dinge. Ich habe nicht irgendwelche isolierten lokalen Isomorphismen konstruiert. Sondern ich habe einen globalen Homomorphismus vorgegeben, und gezeigt, dass dieser lokal ein Isomorphismus ist. Nun lernt man in den Grundlagen der Garbentheorie, dass der globale Homomorphismus damit ein Isomorphismus ist.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
KarlRuprecht hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
KarlRuprecht hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]