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Strukturen und Algebra » Algebraische Geometrie » Abgeschlossener Träger einer Quotientengarbe
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Universität/Hochschule J Abgeschlossener Träger einer Quotientengarbe
KarlRuprecht
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-10-23


Guten Abend,

hätte da eine Frage zu einem Beweis, bei dem ich mir das Leben leichter machen möchte:

Sei X ein Schema und <math> \rho \subset \mathcal{O}_X</math> eine quasikohärente Idealgarbe. Ich möchte zeigen, dass <math>Supp(\mathcal{O}_X / \rho) := \{a \in X | (\mathcal{O}_X / \rho)_a \neq 0\}</math> abgeschlossen in X ist. Habe dies bereits für affines <math>X</math> zeigen können. Ist es irgendwie möglich den allgemeinen Fall auf den affinen zu reduzieren?

Das Problem ist ja, dass, falls ich eine offene, affine Überdeckung  <math>X =\bigcup _i U_i</math> wählen würde und bereits gezeigthabe, dass <math>Supp(\mathcal{O}_X / \rho) \cap U_i</math> abg. in <math>U_i</math> ist, so kann ich nicht über ein topologisches Argument auf die Abgeschlossenheit von <math>Supp(\mathcal{O}_X / \rho)</math> in X schließen, da <math> U_i</math>s ja offen sind. Kann ich nicht irgendwie doch dieses Argument retten bzw. auf affinen Fall reduzieren?



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Dune
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-10-25


Hi KarlRuprecht,

2017-10-23 19:15 - KarlRuprecht im Themenstart schreibt:
so kann ich nicht über ein topologisches Argument auf die Abgeschlossenheit von <math>Supp(\mathcal{O}_X / \rho)</math> in X schließen, da <math> U_i</math>s ja offen sind.

Doch, genau das kannst du. Es gilt ganz allgemein für einen topologischen Raum <math>X</math> mit Teilmenge <math>A \subseteq X</math> und offener Überdeckung <math>X = \bigcup_i O_i</math>:

<math>A</math> ist genau dann abgeschlossen in <math>X</math>, wenn <math>A \cap O_i</math> abgeschlossen ist in <math>O_i</math> für alle <math>i</math>.

VG, Dune



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2017-10-29


Andererseits muss man hier keine offenen Überdeckungen wählen, zumal die Aussage für beliebige geringte Räume gilt, also nicht nur für Schemata. Außerdem muss die Garbe kein Quotient von <math>\mathcal{O}_X</math> sein; es reicht irgendeine Modulgarbe, die von endlichem Typ ist:
 
Sei <math>X</math> ein geringter Raum und <math>F</math> eine <math>\mathcal{O}_X</math>-Modulgarbe, die von endlichem Typ ist. Dann ist <math>\mathrm{supp}(F) \subseteq X</math> abgeschlossen.
 
Beweis: Man zeigt, dass das Komplement <math>\{x \in X : F_x = 0\}</math> offen ist. Sei dazu <math>x \in X</math>. Wähle eine offene Umgebung <math>U</math> von <math>x</math> und Schnitte <math>s_1,\dotsc,s_n \in F(U)</math>, sodass <math>F|_U</math> von diesen Schnitten erzeugt wird. Es gilt <math>F_x = 0</math> genau dann, wenn <math>(s_1)_x = \dotsc = (s_n)_x = 0</math> gilt. Nun gilt aber <math>(s_i)_x = 0</math> genau dann, wenn es eine offene Umgebung <math>V_i \subseteq U</math> von <math>x</math> gibt mit <math>(s_i)|_{V_i}=0</math>. Die offene Umgebung <math>V := V_1 \cap \cdots \cap V_n</math> hat dann die Eigenschaft <math>F|_V=0</math> (wegen <math>(s_i)|_V=0</math>). Es gilt also <math>F_y = 0</math> für alle <math>y \in V</math>, und wir sind fertig.



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