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 Lösbarkeit bzw. Eindeutigkeit der Widerstandsgleichungen |
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adsunt
Neu 
Dabei seit: 06.11.2017
Mitteilungen: 2
 |  Themenstart: 2017-11-09
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Hallo zusammen,
ich soll ein Matlab-Skript schreiben, welches mir nach Eingabe der Werte dreier Messungen einen Widerstand der Kabelisolation ausgibt.
Für die drei Messungen werden die beiden Widerstandsmessspitzen in unterschiedlichen Abständen an die Isolation des Leiters (isoliertes Kabel) gehalten. Dabei soll mit einem ESB folgender Art gearbeitet werden:
Das ESB besteht aus vier, bzw. drei Widerständen. Jeweils einem (von dem Abstand der Messspitzen unabhängigen) Widerstand zwischen direkter Verbindung zwischen Messspitze und dem von der Isolation umgebenen Leiter (die beiden Widerstände können zusammengefasst werden; ich nenne sie $R_s$), einem Widerstand zwischen diesen eben genannten Widerständen als Widerstandsbelag des Leiters ($R_{bm}$[wie Belag_Metall]) und dem zu den bisherigen Widerständen parallel befindlichen Widerstandsbelag zwischen den beiden Messspitzen ($R_{bi}$ [Belag_Isolation]). Diese Widerstandsbeläge (oder Flächenwiderstände sind ja von der Messdistanz abhängig)
Mit dem Gesamtwiderstand $R_n$ der n-ten Messung mit den Messabständen $d_n$ ergibt sich ja folgende Formel:
$\displaystyle R_n=\frac{R_s\cdot R_{bi}\cdot R_{bm}\cdot d_n\cdot d_n}{R_s+R_{bm}\cdot d_n+R_{bi}\cdot d_n}$.
Nun ist mein Problem, dass ich nicht genau weiß, ob es dafür mit drei Messungen ein eindeutiges Ergebnis (gesucht ist $R_s$ und wenn möglich auch $R_{bm},R_{bi}$) geben kann.
Ich habe es bereits erst manuell, dann einfach per Matlab mittels solve() versucht. Das Ergebnis war jedoch "Empty sym: 0-by-1", was mich vermuten lässt, dass es unlösbar ist. So sieht die Funktion aus:
\sourceon Matlab
function [] = Widerstand( Rn, dn)
syms Rbi Rbm Rs
f1 = Rn(1)==Rs*Rbm*dn(1)*Rbi*dn(1)/(Rn(1)+Rbm*dn(1)+Rbi*dn(1));
f2 = Rn(2)==Rs*Rbm*dn(2)*Rbi*dn(2)/(Rn(2)+Rbm*dn(2)+Rbi*dn(2));
f3 = Rn(3)==Rs*Rbm*dn(3)*Rbi*dn(3)/(Rn(3)+Rbm*dn(3)+Rbi*dn(3));
solve(f1,f2,f3,Rs)
end
\sourceoff
Eine andere Möglichkeit es zu lösen, wäre vielleicht eine Gerade zu beschreiben als Funktion des Widerstandes in Abhängigkeit des Messabstandes und darin den Messabstand gegen Null gehen zu lassen. Wäre das die bessere Lösung?
Meine Fragen sind nun:
Gibt es für meine Aufgabe eine Lösung? Wenn ja: was habe ich möglicherweise übersehen?
Welche Kriterien gibt es, um auszuschließen, dass ein nichtlineares Gleichungssystem (k)eine Lösung hat (Es handelt sich doch um ein nichtlineares Gleichungssystem, oder etwa eigentlich nicht?).
Viele Grüße
adsunt
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rlk
Senior 
Dabei seit: 16.03.2007
Mitteilungen: 11600
Wohnort: Wien
|  Beitrag No.1, eingetragen 2017-11-11
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Hallo adsunt,
herzlich willkommen auf dem Matheplaneten.
Kannst Du das Ersatzschaltbild genauer beschreiben? Sind die Kontaktwiderstände in Serie zu der Parallelschaltung aus den distanzabhägigen Widerständen von Leiter und Isolator?
Die Formel für $R_n$ ist falsch, die linke Seite hat die Dimension $R$ (Widerstand), die rechte Seite $R^2$.
Servus,
Roland
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adsunt
Neu
Dabei seit: 06.11.2017
Mitteilungen: 2
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-14
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Hallo rlk,
Vielen Dank für die Antwort und den Hinweis. Ein unangenehmer Fehler. Sorry für diese Unklarheit.
$\displaystyle R_n=\frac{(R_s+R_{bm}*d_n)*R_{bi}*d_n}{R_s+R_{bm}*d_n+R_{bi}*d_n}$
Ich werde wohl am besten eine Skizze zeichnen:
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/48913_Skizze.gif
Ich habe auch das Matlab-skript damit ausprobiert.
\sourceon Matlab
function [] = Widerstand( Rn, dn)
syms Rbi Rbm Rs
f1 = Rn(1)==(Rs+Rbm*dn(1))*Rbi*dn(1)/(Rn(1)+Rbm*dn(1)+Rbi*dn(1));
f2 = Rn(2)==(Rs+Rbm*dn(2))*Rbi*dn(2)/(Rn(2)+Rbm*dn(2)+Rbi*dn(2));
f3 = Rn(3)==(Rs+Rbm*dn(3))*Rbi*dn(3)/(Rn(3)+Rbm*dn(3)+Rbi*dn(3));
solve(f1,f2,f3,Rs)
end
\sourceoff
Es ergibt aber nach wie vor die selbe Fehlermeldung.
Gruß
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rlk
Senior
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Wohnort: Wien
| Beitrag No.3, eingetragen 2017-11-15
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Hallo adsunt,
die Formel passt zu dem Ersatzschaltbild. Ob die Lösung eindeutig ist, sehe ich noch nicht. Für $R_s=0$ gibt es keine eindeutige Lösung, weil
$\displaystyle R_{bm}\cdot d_n = R_n, \quad R_{bi}\to\infty$
und
$\displaystyle R_{bm}\cdot d_n = R_{bi}\cdot d_n = 2 R_n$
beide die Gleichung lösen.
Wie Du richtig feststellst, handelt es sich um ein nichtlineares Gleichungssystem. Ob die Fehlermeldung ein Hinweis ist, dass Matlab keine Lösung gefunden hat oder ob sie eine andere Ursache hat, kann ich leider nicht sagen, weil ich die symbolic toolbox von Matlab nicht kenne.
Ich verschiebe die Diskussion ins Matlab-Forum, vielleicht kann Dir dort jemand weiterhelfen.
Servus,
Roland
[Verschoben aus Forum 'Elektrotechnik' in Forum 'Matlab' von rlk]
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