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Strukturen und Algebra » Algebraische Geometrie » Koordinatenring einer linearen affinen Varietät
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Universität/Hochschule J Koordinatenring einer linearen affinen Varietät
Pimo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-11-20


Hallo zusammen,

ich möchte zeigen, dass der Koordinatenring einer affinen Varietät <math>X\subseteq\mathbb{A}^n</math>, die durch lineare Gleichungen gegeben ist, isomorph zu einem Polynomring ist.

Meine erster Gedanke dazu ist, dass <math>X</math> ja als Lösungsraum eines LGS ein affiner Unterraum von <math>\mathbb{A}^n=K^n</math> ist und damit also als Vektorraum isomorph zu <math>K^m</math> für ein <math>m\leq n</math> ist. Wenn man den Koordinatenring <math>A(X)=K[x_1,\dots,x_n]/I(X)</math> als Ring der Polynomfunktionen auf <math>X</math> interpretiert, folgt dann aus obiger Isomorphie, dass <math>A(X)</math> dem Ring der Polynomfunktionen auf <math>K^m</math> (und damit dem Polynomring <math>K[x_1,\dots,x_m]</math>) entspricht?

Für einen Hinweis wäre ich sehr dankbar! :)

Viele Grüße,

Pimo



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-11-20


Das Argument ist fast richtig. Es reicht nur nicht, dass \(X\) als Vektorraum zu \(K^m\) isomorph ist. Du musst zeigen, dass \(X\) als Varietät zu \(\mathbb{A}^m\) isomorph ist. Dann folgt die Isomorphie der Koordinatenringe.



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Pimo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-20


Ok danke schonmal. Genau das war mein Problem, dass Vektorraum-Isomorphie hier strukturell nicht weiterzuhelfen scheint. Wir hatten bisher noch keine Morphismen zwischen affinen Varietäten, geschweige denn Isomorphismen. Gibt es evtl. irgendeine Möglichkeit, die Aussage trotzdem (vllt. auch mit einem anderen Ansatz) zu zeigen?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-11-20


Skizze: Aus linearer Algebra folgt, dass es einen Isomorphismus von Vektorräumen \(T : K^n \longrightarrow K^n\) gibt, der \(X\) auf \(K^m \times \{0\}^{n-m} \subseteq K^n\) abbildet. Schreibe ggf. \(T\) als Matrix hin. Dann induziert \(T\) einen Isomorphismus von Algebren \(K[X_1,\dotsc,X_n] \longrightarrow K[X_1,\dotsc,X_n]\), welcher \(I(X)\) auf \(\langle X_{m+1},\dotsc,X_n\rangle\) abbildet. Wir erhalten also einen Isomorphismus \(K[X_1,\dotsc,X_n]/I(X) \longrightarrow K[X_1,\dotsc,X_n]/\langle X_{m+1},\dotsc,X_n\rangle = K[X_1,\dotsc,X_m]\).



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Pimo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-20


Vielen Dank!



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