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Strukturen und Algebra » Ringe » Definition eines Radikalideals
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Universität/Hochschule Definition eines Radikalideals
qwertz235
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  Themenstart: 2017-11-22

Hallo, ich habe eine Frage bezüglich der Definition eines Radikalideals. Ist R ein kommutativer Ring und I\subsetequal\ R ein Ideal, so ist das Radikalideal definiert durch sqrt(I):=menge(x\el\ R|\exists\ n\el\ \IN:x^n\el\ I) . Insbesondere ist I\subsetequal\ sqrt(I) . Aber warum gilt i.A. I!=sqrt(I) ? Denn gibt es ein x\el\ R mit x^n\el\ I , so ist doch auch x=x^n*x^(1-n)\el\ I , da I ein Ideal und damit abgeschlossen bzgl. Multiplikation mit Ringelementen ist. Oder habe ich da einen Denkfehler? Viele Grüße


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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2017-11-22

Was ist denn $x^{1-n}$, wenn $n \geq 2$ und $x$ nicht invertierbar ist?


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qwertz235
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-22

Kurz nach dem Abschicken fiel es mir auf. Ich war in Gedanken bei Körpern, nicht bei Ringen.


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Triceratops
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  Beitrag No.3, eingetragen 2017-11-22

Ok. Es ist auch immer gut, ein paar Beispiele parat zu haben. Im Ring $\mathbb{R}[T]/\langle T^2 \rangle$ gilt für $t := \overline{T}$ die Gleichung $t^2 = 0$, aber $t \neq 0$. Das zeigt die eine Inklusion von $\sqrt{\langle 0 \rangle} = \langle t \rangle$. (Was dieser spezielle Ring mit Ableitungen zu tun hat, steht hier: http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1791)


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qwertz235
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-22

Vielen Dank für den Tipp!


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qwertz235 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
qwertz235 hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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