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  Wurzel aus komplexer Zahl |
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cryptonize
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 |  Themenstart: 2017-11-28
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Hallo,
für eine reellwertige Variable $a\in \mathbb{R}$ gilt
$\sqrt{a^2}=|a|$.
Kann man eine ähnliche Gleichung auch für eine komplexe Zahl $c\in \mathbb{C}$ hinschreiben?
$\sqrt{c^2}=$??
Ich hätte gesagt, dass $\sqrt{c^2}=$ eine Lösung der Gleichung $z^2=c^2$ bezeichnet. Und die Gleichung hat doch offensichtlich die Lösung $z=\pm c$. Daher kann müsste man doch $\sqrt{c^2}=c$ schreiben können?
Ich denke aber, dass ich einen Denkfehler habe. Mathematica hält einen Ausdruck der Form $\sqrt{c^2}$ immer allgemein und macht nicht die Vereinfachung die ich gemacht habe. Könnt ihr mir sagen wieso?
Cryp
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Triceratops
Wenig Aktiv 
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2017-11-28
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Man könnte auch $\sqrt{c^2}=\pm c$ schreiben, was dann in jedem Körper stimmt. Bei den komplexen Zahlen wird allerdings manchmal eine spezielle Konvention für die Wurzel gewählt, nämlich der Hauptwert bzw. die principal square root (siehe Wikipedia), und dann hängt hier das Vorzeichen eindeutig von $c$ ab. Zum Beispiel gilt dann $\sqrt{i^2}=\color{red}{+}i$, aber $\sqrt{(-1)^2}=\color{red}{-}(-1)$.
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cryptonize
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-11-28
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Danke für die Antwort.
Ich glaube ich habs auch selber.
Allgemein sollte gelten
$\sqrt{a^2}=\pm a$
wobei $+$ gilt falls $Arg(a)\in [0,\pi)$ und $-$ falls $Arg(a)\in [\pi,2 \pi)$ liegt
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jessedo
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2017-11-28
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\quoteon(2017-11-28 00:13 - Triceratops in Beitrag No. 1)
Man könnte auch $\sqrt{c^2}=\pm c$ schreiben, was dann in jedem Körper stimmt.
\quoteoff
Also im Körper der reellen Zahlen stimmt dies nicht, da ist es wie oben schon erwähnt sqrt(x^2)=abs(x).
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Triceratops
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| Beitrag No.4, eingetragen 2017-11-28
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jessedo
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| Beitrag No.5, eingetragen 2017-11-28
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@Triceratops Nein, ist es nicht. +-x ist sowohl +x als auch -x, während |x| nur eines von beidem ist, also entweder +x ODER -x.
Edit: Ich hab mir nochmal meinen Kommentar durchgelesen und möchte folgendes dazugesagt haben:
Falls meine Antwort forsch rüber kam, sei erwähnt dass dies nicht beabsichtigt war(über Schriftverkehr kann man schlecht emotionen und Tonfall rüberbringen).
Des weiteren ist +-x selbstverständlich auch nur eines von beiden zur selben Zeit. Jedoch kann man unabhängig vom x, + oder - als Vorzeichen wählen. Währenddessen ist bei |x| ganz klar vorgeschrieben, dass |x|=x für x>=0 und |x|=-x für x<=0.
Ichhoffe das klärtes nochmal besser auf.
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Triceratops
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| Beitrag No.6, eingetragen 2017-11-28
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Mit $a=\pm b$ ist gemeint, dass $a=b$ oder $a=-b$ ist. (Überlege dir, warum hier $a=b$ und $a=-b$ nur für $a=0$ funktionieren würde.) Wovon die Vorzeichenwahl abhängt, ist für die Formel irrelevant. Meine Aussage ist daher richtig. Zur Illustration: Es ist sogar $a=\pm a$.
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DerEinfaeltige
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 | Beitrag No.7, eingetragen 2017-11-28
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\quoteon(2017-11-28 13:46 - Triceratops in Beitrag No. 6)
Mit $a=\pm b$ ist gemeint, dass $a=b$ oder $a=-b$ ist. (Überlege dir, warum hier $a=b$ und $a=-b$ nur für $a=0$ funktionieren würde.) Wovon die Vorzeichenwahl abhängt, ist für die Formel irrelevant. Meine Aussage ist daher richtig. Zur Illustration: Es ist sogar $a=\pm a$.
\quoteoff
Das habe ich so noch nie gelesen.
Ich kenne die Verwendung von $\pm $ nur, wenn BEIDES korrekte Aussagen ergibt.
Alles andere macht viele bekannte Terme auch schlichtweg unlesbar und sorgt u.a. dafür, dass man $\pm$ nicht sinnvoll mit $\mp$ kombinieren kann. (nach deiner Lesart wären beide Zeichen identisch)
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Triceratops
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| Beitrag No.8, eingetragen 2017-11-28
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Die Gleichung $x^2=4$ hat die Lösungen $x=\pm 2$, richtig? Wie kann nun $x=+2$ und $x=-2$ gleichzeitig gelten? Es geht offenbar nicht. Was man eigentlich aussagt, ist Folgendes:
\[x^2=4 \iff (x=+2 \vee x=-2) \stackrel{\text{def.}}{\iff} x=\pm 2.\]
Vielleicht kommt man auf das "und", weil die eine Richtung der Äquivalenz als die Konjunktion von $(x=+2 \implies x^2=4)$ und $(x=-2 \implies x^2=4)$ angesehen werden kann.
Offenbar hat aber $\pm$ noch eine andere Bedeutung, und das könnte die Verwirrung erklären. Wenn man nämlich die beiden Gleichungen $a(x)=b(x)$ und $a(-x)=b(-x)$ zu einer zusammenfassen möchte, dann schreibt man ebenfalls $a(\pm x)=b(\pm x)$. Ein typisches Beispiel ist das Additionstheorem der Sinusfunktion. Und wenn man die beiden Gleichungen $a(x)=b(-x)$ und $a(-x)=b(x)$ zu einer zusammenfassen möchte, dann schreibt man ebenfalls $a(\pm x)=b(\mp x)$.
Die beiden Bedeutungen von $\pm$ dürfen nicht miteinander verwechselt werden, weil das, wie oben erklärt, Widersprüche erzeugen würde.
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jessedo
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| Beitrag No.9, eingetragen 2017-11-28
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\quoteon(2017-11-28 13:55 - Triceratops in Beitrag No. 8)
Die Gleichung $x^2=4$ hat die Lösungen $x=\pm 2$, richtig?
\quoteoff
Richtig, aber du hast einen entscheidenden Zwischenschritt vergessen:
x^2=4 => x=+-sqrt(4)=+-2
Wenn die Quadratwurzel aus 4 bereits +-2 wäre, würde das +- vor dem Wurzelzeichen keinen Sinn machen. Die Quadratwurzel ist nach definition immer positiv. Dies hat man so definiert da es sich ansonsten um keine Funktion handeln würde, es aber unwahrscheinlich nützlich ist sie als solche zu haben.
Die Gleichung die du hier geschrieben hast, unterscheidet sich übrigens von der Ausgangsgleichung.
Bei x^2=4 => x=+-sqrt(4)=+-2 handelt es sich um eine wirkliche Gleichung, bei der man nach x auflösen kann.
sqrt(x^2)=x ist hingegen eine falsche Aussage, die sich deutlich von sqrt(x^2)=y unterscheidet.
Edit:
sqrt(x^2)=x ist nicht zwangsweise eine falsche Aussage, sondern wird durch eine zusätzliche Einschränkung auf x richtig, nämlich: x>=0. Es wird eine falsche Aussage, wenn man diese Einschränkung nicht angibt.
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cryptonize hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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