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  Methode der Bildladungen - Linienladung |
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quarks
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 29.04.2017
Mitteilungen: 56
 |  Themenstart: 2017-12-06
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Hallo!
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/47886_methode_der_bildladungen.png
Dazu hier eine Skizze der Linienladung:
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/47886_linienladung.png
Also im Punkt (x0/y0) befindet sich eine Linienladung in Richtung z-Achse (also ragt aus dem Bildschirm heraus). Dazu sind in y- und x-Richtung Metallplatten(schwarz im Bild oben).
Das Potential einer solchen Linienladung ist mit ln(....) in der Angabe gegeben. In der Skizze oben wurden 3 sog. Spiegelladungen eingebaut, die alle symmetrisch zur ursprünglichen Ladung im Punkt (x0/y0) sind.
Ich habe derzeit nur eine Frage:
Warum zeichnet man gerade 3 Ladungen ein, um somit das Gesamtpotential berechnen zu können, dass sich einfach aus der Summe von vier ln(....) berechnen lässt?
Also die E-Feldlinien stellen sich ja zumal senkrecht auf die Metallflächen. Aber ich verstehe jetzt nicht, wie die anderen drei Spiegelladungen da mit reinspielen, ich denke eine Antwort auf obige Frage wird mir weiterhelfen.
Gruß
quarks
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rlk
Senior 
Dabei seit: 16.03.2007
Mitteilungen: 11603
Wohnort: Wien
| Beitrag No.1, eingetragen 2017-12-06
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Hallo quarks,
schöne Erklärungen der Spiegelladungsmethode findest Du in den Beiträgen
http://www.matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=226704&post_id=1653596
http://www.matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=216430&post_id=1582683
von Orangenschale.
Servus,
Roland
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quarks
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 29.04.2017
Mitteilungen: 56
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-07
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Hallo rlk,
danke für die Antwort. Ich habe mir beide Beiträge durchgelesen, jedoch bin ich mir noch nicht ganz sicher.
Ich versuche nun parallelen zu meinem Beispiel zu finden:
Also laut Angabe ist doch das Potential auf den eingezeichneten Metallplatten Null, richtig?
D.h. um das Gesamtpotential bestimmen zu können, muss ich meine Spiegelladungen so anlegen, dass sich das Potential Null an den Platten ist, richtig?
Aber ich wäre der Meinung, dass die Ladungen links oben und rechts unten dafür ausreichen würden.
Was für einen Zweck hat dann die positive Ladung links unten?
Gruß
quarks
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dromedar
Senior 
Dabei seit: 26.10.2013
Mitteilungen: 5123
Wohnort: München
 | Beitrag No.3, eingetragen 2017-12-07
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Hallo quarks,
\quoteon(2017-12-07 19:35 - quarks in Beitrag No. 2)
Aber ich wäre der Meinung, dass die Ladungen links oben und rechts unten dafür ausreichen würden.
\quoteoff
Das mag auf den ersten Blick so aussehen, ist aber nicht so.
Die Bildladung links oben würde zusammen mit der realen Ladung rechts oben dafür sorgen, dass das Potential auf der Fläche zwischen diesen beiden Ladungen verschwindet, wenn es sonst keine weiteren Ladungen gäbe. Aber die Ladung rechts unten zerstört diese Eigenschaft.
Ganz analog würde die Bildladung rechts unten zusammen mit der tatsächlichen Ladung rechts oben dafür sorgen, dass das Potential auf der Fläche zwischen diesen beiden Ladungen verschwindet, aber diesmal stört die Ladung links oben.
Erst alle vier Ladungen zusammen sorgen dafür, dass das Potential auf beiden Flächen verschwindet. Dass das tatsächlich so ist, kannst Du am einfachsten durch Symmetrieargumente zeigen.
Grüße,
dromedar
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quarks
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 29.04.2017
Mitteilungen: 56
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-07
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\quoteon(2017-12-07 20:03 - dromedar in Beitrag No. 3)
Die Bildladung links oben würde zusammen mit der realen Ladung rechts oben dafür sorgen, dass das Potential auf der Fläche zwischen diesen beiden Ladungen verschwindet, wenn es sonst keine weiteren Ladungen gäbe.
\quoteoff
Mit Fläche meinst du nur den schwarzen Strich, der auf der y-Achse liegt. Also das Potential verschwindet ja nur in der Mitte zwischen den zwei Ladungen, richtig?
Und d.h., wenn ich nur eine Spiegelladung oben rechts und unten links habe, dass die untere links das Potential auf der y-Achse "stört" und bei der anderen ben die x-Achse gestört wird.
edit: Und wie kann ich mir die tangentiale Komponente des E-Felds an den Randflächen denn vorstellen? Es gibt ja E_x(x,y) und E_y(x,y).
Ist das die Komponente parallel zur Randfläche?
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dromedar
Senior
Dabei seit: 26.10.2013
Mitteilungen: 5123
Wohnort: München
| Beitrag No.5, eingetragen 2017-12-07
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\quoteon(2017-12-07 21:13 - quarks in Beitrag No. 4)
Mit Fläche meinst du nur den schwarzen Strich, der auf der y-Achse liegt.
\quoteoff
Dieser "schwarze Strich" ist die Fläche
$\bigl\{(x,y,z)\in{\Bbb R}^3:x=0,y\ge0\bigr\}$ ,
denn es geht ja um ein dreidimensionales Problem und die Skizze zeigt nur den Schnitt mit der $(x,y)$-Ebene.
\quoteon(2017-12-07 21:13 - quarks in Beitrag No. 4)
Also das Potential verschwindet ja nur in der Mitte zwischen den zwei Ladungen, richtig?
\quoteoff
Es verschwindet auf der gesamten $(y,z)$-Ebene
$\bigl\{(x,y,z)\in{\Bbb R}^3:x=0\bigr\}$ ,
und das folgt daraus, dass die Ladungsverteilung bei der Spiegelung an dieser Ebene ihr Vorzeichen wechselt: Wenn $\Phi$ ein Potential der ursprünglichen und $\widetilde\Phi$ eines der gespiegelten Ladungsverteilung bezeichnet, gilt einmal
$\widetilde\Phi(x,y,z)=\Phi(-x,y,z)+C_1$ ,
weil das gespiegelte Potential der ursprünglichen Ladungsverteilung ein Potential der gespeigelten Ladungsverteilung ist und sich zwei Potentiale zur gleichen Ladungsverteilung nur durch eine Konstante unterscheiden, und einmal
$\widetilde\Phi(x,y,z)=-\Phi(x,y,z)+C_2$ ,
weil die Ladungsverteilung bei der Spiegelung an dieser Ebene ihr Vorzeichen wechselt. Also ist
$\Phi(-x,y,z)=-\Phi(x,y,z)+2C$
mit der Konstanten $C=(C_2-C_1)/2$, und daraus folgt
$\Phi(0,y,z)=C$ .
$\Phi$ ist also auf der $(y,z)$-Ebene konstant und man kann diese Konstante $=0$ wählen.
\quoteon(2017-12-07 21:13 - quarks in Beitrag No. 4)
edit: Und wie kann ich mir die tangentiale Komponente des E-Felds an den Randflächen denn vorstellen? Es gibt ja E_x(x,y) und E_y(x,y).
Ist das die Komponente parallel zur Randfläche?
\quoteoff
Ja, das ist die Komponente parallel zur $(y,z)$-Ebene, und zu dieser Komponente tragen $E_y(x,y,z)$ und $E_z(x,y,z)$ bei.
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quarks
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 29.04.2017
Mitteilungen: 56
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-08
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Ahh, ok danke, dann habe ich mich falsch ausgedrückt.
Was heißt dann parallel zur (y,z)-Ebene? Also es ist doch die Richtung mit entscheident? Wohin zeigt der Radiale Anteil des E-feldes genau?
Normalerweise heißt radial einfach vom Zylinder weg, aber ich kann mir das hier überhaupt nicht vorstellen leider.
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dromedar
Senior
Dabei seit: 26.10.2013
Mitteilungen: 5123
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| Beitrag No.7, eingetragen 2017-12-08
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\quoteon(2017-12-08 00:05 - quarks in Beitrag No. 6)
Was heißt dann parallel zur (y,z)-Ebene?
\quoteoff
$\bf E$ ist ein Vektor, und einen Vektor kannst Du zerlegen in einen Anteil parallel zur $(y,z)$-Ebene und einen Anteil senkrecht dazu:
${\bf E}={\bf E}_\parallel+{\bf E}_\perp$
oder in Komponenten
$\displaystyle
\begin{pmatrix}E_x\\E_y\\E_z\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}0\\E_y\\E_z\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}E_x\\0\\0\end{pmatrix}$ .
\quoteon(2017-12-08 00:05 - quarks in Beitrag No. 6)
Also es ist doch die Richtung mit entscheident?
\quoteoff
Natürlich ist die Richtung entscheident. Was, außer der Richtung, sollte festlegen, ob ein Vektor parallel zu einer Fläche ist oder auf ihr senkrecht steht?
\quoteon(2017-12-08 00:05 - quarks in Beitrag No. 6)
Wohin zeigt der Radiale Anteil des E-feldes genau?
\quoteoff
Wo ist von einem "radialen Anteil" die Rede?
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quarks
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 29.04.2017
Mitteilungen: 56
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-08
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Hallo dromedar, danke dir!
Aber dann muss es auch einen tangentialen Anteil parallel zur (x,z)-Ebene geben:
$\displaystyle \displaystyle
\begin{pmatrix}E_x\\E_y\\E_z\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}E_x\\0\\E_z\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}0\\E_y\\0\end{pmatrix}$
Zusammengefasst:
Es soll gezeigt werden, dass die tangentialen Anteile der Randflächen gleich Null sind:
$\displaystyle \displaystyle
{\bf E}_\parallel_x = \begin{pmatrix}E_x\\0\\E_z\end{pmatrix}$
$\displaystyle \displaystyle
{\bf E}_\parallel_y=\begin{pmatrix}0\\E_y\\E_z\end{pmatrix}$
Dann betragsmäßig:
$\displaystyle E_\parallel_x(x,y=0,z) = 0$
$\displaystyle E_\parallel_y(x=0,y,z) = 0$
In dem Beispiel betrachten wir ja nur die (x,y)-Ebene, d.h z=0. Aber obige tangentiale E-Feld-Anteile verschwindet für beliebige z nehme ich an?
Habe ich das richtig argumentiert?
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dromedar
Senior
Dabei seit: 26.10.2013
Mitteilungen: 5123
Wohnort: München
| Beitrag No.9, eingetragen 2017-12-09
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\quoteon(2017-12-08 10:59 - quarks in Beitrag No. 8)
In dem Beispiel betrachten wir ja nur die (x,y)-Ebene, d.h z=0. Aber obige tangentiale E-Feld-Anteile verschwindet für beliebige z nehme ich an?
\quoteoff
Ja, so ist es.
\quoteon(2017-12-08 10:59 - quarks in Beitrag No. 8)
Habe ich das richtig argumentiert?
\quoteoff
Ein Argument dafür, dass diese Anteile tatsächlich verschwinden, hast Du noch nicht gebracht.
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quarks
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 29.04.2017
Mitteilungen: 56
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-09
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Danke!
Ich habs mir ausgerechnet und ich bekomme tatsächlich
$\displaystyle E_\parallel_x(x,y=0) = 0$
$\displaystyle E_\parallel_y(x=0,y) = 0$
raus.
Aber ich kanns mir nicht erklären warum. Kann es sein, weil die E-Feld Linien sich senkrecht auf die Randflächen stellen? Und dadurch habe ich halt keinen parallelen Anteil gegeben.
Das E-Feld vom der positiven Ladung ausgehend sucht sich halt die "freien Elektronen" im Metall.
Könnte man das so sagen bzw. wie würdest du das argumentieren?
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dromedar
Senior
Dabei seit: 26.10.2013
Mitteilungen: 5123
Wohnort: München
| Beitrag No.11, eingetragen 2017-12-09
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\quoteon(2017-12-09 09:30 - quarks in Beitrag No. 10)
Kann es sein, weil die E-Feld Linien sich senkrecht auf die Randflächen stellen? Und dadurch habe ich halt keinen parallelen Anteil gegeben.
\quoteoff
Wegen ${\bf E}=-\mathop{\rm grad}\Phi$ steht das E-Feld senkrecht auf den Flächen $\Phi=\rm const$ (= Äquipotentialflächen). Und da das Potential auf der $(x,z)$- und der $(y,z)$-Ebene verschwindet, sind diese Ebenen solche Flächen.
\quoteon(2017-12-09 09:30 - quarks in Beitrag No. 10)
Das E-Feld vom der positiven Ladung ausgehend sucht sich halt die "freien Elektronen" im Metall.
Könnte man das so sagen bzw. wie würdest du das argumentieren?
\quoteoff
Die Aufgabe verlangt doch gar keine "anschauliche" Argumentation. Wenn Du das E-Feld ausgerechnet hast und festgestelt hast, dass die fraglichen Komponenten verschwinden, bist Du fertig.
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quarks hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
quarks hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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