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| Autor |
 Lösungen in Polardarstellung |
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wasser18
Junior 
Dabei seit: 21.11.2017
Mitteilungen: 6
 |  Themenstart: 2017-12-19
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Hallo,
hab die Gleichung z^8=-1 ...
Wie komme ich nun an alle komplexen Lösungen und stelle diese in Polardarstellung dar?
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 Profil
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trunx
Senior 
Dabei seit: 16.08.2003
Mitteilungen: 2867
Wohnort: Berlin
 | Beitrag No.1, eingetragen 2017-12-19
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Hallo,
was ist denn -1 in Polardarstellung?
bye trunx
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Profil
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Orangenschale
Senior
Dabei seit: 31.05.2007
Mitteilungen: 2282
Wohnort: Heidelberg, Deutschland
 | Beitrag No.2, eingetragen 2017-12-19
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Hallo waser18,
schreibe $$-1=e^{i(\pi+k\cdot 2\pi)}$$ und zieh die Wurzel draus. Dann erhältst du die 8 Lösungen.
Viele Grüße,
OS
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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Ex_Senior
| Beitrag No.3, eingetragen 2017-12-19
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\quoteon(2017-12-19 20:18 - wasser18 im Themenstart)
z8 = -1
\quoteoff
Vielleicht als kleine Hintergrund-Erläuterung; allgemein (d.h. ähnliche Gleichungen lassen sich auf die Kreisteilungsgleichung substituieren):
$z^{n}= 1$ ("Kreisteilungsgleichung")
hat die lösungen:
$\displaystyle
z_k = e^{\frac{2\pi k}{n}i},~~\text{mit}~ k=0,1,2,\dots,n-1$
Ansatz: $\displaytsyle z^{n}= 1 = e^{2\pi i \cdot k} }; ~~~ k \in \mathbb{Z}\Rightarrow z_k = e^{\frac{2 \pi i}{n} \cdot k }$.
Das heißt unendlich viele Lösungen $z_k$.
$\Rightarrow$ Welche Lösungen sind verschieden, welche äquivalent-gleich?
Betrachte $\displaystyle z_{p + n} = e^{\frac{2 \pi i}{n} \cdot (p+n) } = e^{\frac{2 \pi i}{n} \cdot p } \cdot \underbrace{e^{2 \pi i} }}_{= 1}. $
Also $z_p = z_{p + n} $
Damit hat man also folgende Lösungen
$
\begin{matrix}
z_0 & z_n = z_0 & z_{2n} = z_n = z_0 & \ldots \\
z_1 & z_{n+1} = z_1 & z_{2n+1} = z_{n+1} = z_1 & \ldots \\
z_2 & z_{n+2} = z_2 & z_{2n+2} = z_{n+2} = z_2 & \ldots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
z_{n-1} & z_{2n-1} = z_{n-1} & z_{3n-1}=z_{2n-1}=z_{n-1}& \ldots
\end{matrix}
$
wobei Lösungen der selben Zeile gleich, Lösungen der selben Spalte verschieden sind (ähnlich ließe sich das auch für negative, ganze Indizes betrachten).
Man wählt üblicherweise den Satz Lösungen mit den kleinsten nichtnegativen Indizes als Repräsentant: $z_0, z_1, \dots, z_{n-1}$ ("Einheitswurzeln").
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2023-09-30 16:09 U <
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