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  Plattenkondensator elektrisches Feld über Integral |
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Ehemaliges_Mitglied
 |  Themenstart: 2017-12-22
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Hallo,
ich habe einen unendlichen Plattenkondensator mit zwei parallelen Platten. Die eine Platte bei $z=\frac{d}{2}$ hat eine Flächenladungsdichte von $\sigma$ und die andere Platte bei $z=-\frac{d}{2}$ hat eine Flächenladungsdichte von $-\sigma$.
Ich wollte das Elektrische Feld im Kondensator über die Integralgleichung $\begin{align} \vec{E}(\vec{x}) = \int \mathrm{d}^3x' \rho(\vec{x}') \frac{\vec{x}-\vec{x}'}{|\vec{x}-\vec{x}'|^3} \end{align}$
bestimmen.
Ich habe $\rho(z) = \sigma( \delta(z-\frac{d}{2}) - \delta(z+\frac{d}{2}) )$ und $\vec{x} = z \vec{e}_z$ angesetzt und $\vec{x}' = r \cos\phi \vec{e}_x + r \sin\phi \vec{e}_y + z' \vec{e}_z$.
Dann habe ich das ganze in Zylinderkoordinaten betrachtet.
$\begin{align}
\vec{E}(z) = \int_0^{2\pi} \, \mathrm{d}\phi \int_0^\infty \, \mathrm{d}r \int_{-\infty}^\infty \, \mathrm{d}z' \left( \delta(z'-d/2) - \delta(z'+d/2) \right) \frac{r (z - z')}{\left( r^2 + (z-z')^2 \right)^{3/2}} \vec{e}_z
\end{align} $
Ich hab das Integral mal durchgerechnet, jedoch kam ich nicht auf das Ergebnis von $\vec{E} = \frac{\sigma}{2\pi}$, was man angeblich erhalten soll. Ist mein Ansatz überhaupt richtig oder sollte ich lieber nochmal neu rechnen? Ich sehe in meinem Ansatz nicht, wie sich die $d/2$ aus den $\delta$-Funktionen, die man durch die $z'$-Integration erhält und mein $z$ rauskürzen sollen. Deswegen denke ich, dass der Ansatz schon falsch ist.
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Orangenschale
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2017-12-22
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Hallo Limesine,
der Ansatz sieht gut aus, aber du hast einige Rechenfehler drin.
Dein angegebener Vektor $\vec x'$ darf nur gestrichene Koordinaten $r'$, $\varphi'$, $z'$enthalten.
Im Volumenelement ebenso.
In Polarkoordinaten solltest du ganz allgemein finden
$|\vec{x}-\vec{x}'|^3=(r^2+r'^2-2rr'\cos(\varphi-\varphi')+(z-z')^2)^{3/2}$.
Viele Grüße
OS
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-22
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Hallo Orangenschale,
wie hast du dein $\vec{x}$ gewählt? Nur durch Umschreiben der Koordinaten von meinem $\vec{x}'$ komme ich nicht auf deine Ergebnis.
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Orangenschale
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| Beitrag No.3, eingetragen 2017-12-22
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Hallo Limesine,
$\vec x = r\cos\varphi \vec e_x + r\sin\varphi\vec e_y + z\vec e_z $
$\vec x' = r'\cos\varphi' \vec e_x + r'\sin\varphi'\vec e_y + z'\vec e_z $
Dann rechnen und noch ein Additionstheorem verwenden, um auf $\cos(\varphi-\varphi')$ zu kommen.
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-22
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Ich hab bei meiner Wahl der Koordinaten nur das elektrische Feld entlang der $z$-Achse betrachtet. So macht das Ganze viel mehr Sinn. Ich werde mich morgen mal an die Rechnung setzen und mich bei Erfolg oder Misserfolg melden.
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Orangenschale
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| Beitrag No.5, eingetragen 2017-12-22
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\quoteon(2017-12-22 00:55 - Limesine in Beitrag No. 4)
Ich hab bei meiner Wahl der Koordinaten nur das elektrische Feld entlang der $z$-Achse betrachtet. So macht das Ganze viel mehr Sinn. Ich werde mich morgen mal an die Rechnung setzen und mich bei Erfolg oder Misserfolg melden.
\quoteoff
Das ist auch richtig und ich wollte später darauf zurückkommen, ändert aber nichts an der Tatsache, dass du erstmal formal einige Fehler gemacht hast hast.
Ich persönlich finde es wichtig zu verstehen, wie man Problemstellung erst allgemein formuliert und in eines auswertbaren Ausdruck (Integral, Dgl., ...) umformt, und erst dann im zweiten Teil versucht, durch Annahmen und Vereinfachungen das Problem zu lösen. Meiner Meinung nach kann man dudaurch viel über das Problem lernen, zum Beispiel werden Symmetrien offensichtlicher oder Abhängigkeiten werden klarer, die man später nutzen kann. Man findet dadurch oft auch Rechenfehler, wenn z.B. die hergeleitete Gleichung nicht die Symmetrie zeigt, die man erwartet hat.
An diesem konkreten Beispiel ist interessant, dass das Integral von $\cos(\varphi-\varphi')$ (im Intervall $\varphi,\varphi'\in[0,2\pi]$) abhängt, genau so wie man es erwartet, da die Anordnung rotationsinvariant in der $x$-$y$-Ebene ist.
\quoteon(2017-12-22 00:17 - Limesine im Themenstart)
Ich hab das Integral mal durchgerechnet, jedoch kam ich nicht auf das Ergebnis von $\vec{E} = \frac{\sigma}{2\pi}$, was man angeblich erhalten soll.
\quoteoff
Das ist leider auch falsch, wie man schon an den Einheiten erkennt. Man sollte im Innenraum der geladenen Platten
$$\vec E = -\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\vec e_z$$
erhalten.
Viele Grüße
OS
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-22
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Erhält man deine Lösung für das elektrische Feld nicht, wenn man in SI-Einheiten rechnet? Müsste das Ergebnis nicht etwas anders aussehen, wenn man in cgs rechnet?
Danke für die Hilfe soweit!
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Orangenschale
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| Beitrag No.7, eingetragen 2017-12-22
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\quoteon(2017-12-22 10:41 - Limesine in Beitrag No. 6)
Erhält man deine Lösung für das elektrische Feld nicht, wenn man in SI-Einheiten rechnet? Müsste das Ergebnis nicht etwas anders aussehen, wenn man in cgs rechnet?
Danke für die Hilfe soweit!
\quoteoff
Oh, du hast Recht, du rechnest ja im cgs System. Das cgs Ergebnis erhält man durch die Ersetzung $4\pi\varepsilon_0=1$, also $\varepsilon_0=\frac{1}{4\pi}$. Demnach ist dein Ergebnis trotzdem falsch :-)
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-23
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So, ich hab mich mal an das Integral gesetzt. Leider bin ich nach mehreren Anläufen daran gescheitert. Mit
$\begin{align}
\vec{x} &= r\cos\phi \vec{e}_x + r\sin\phi \vec{e}_y + z \vec{e}_z \\
\vec{x}' &= r'\cos\phi' \vec{e}_x + r'\sin\phi' \vec{e}_y + z' \vec{e}_z \\
\rho(z') &= \sigma ( \delta(z'-d/2) - \delta(z'+d/2) )
\end{align}$
sieht mein Integral so aus:
$\begin{align}
\vec{E}(\vec{x}) &= \sigma \int_{0}^{2\pi} \, \mathrm{d}\phi' \int_{0}^{\infty} \, \mathrm{d}r' \int_{-\infty}^{\infty} \, \mathrm{d}z' \frac{r' ( \delta(z'-d/2) - \delta(z'+d/2) )}{(r^2 + r'^2 - 2rr'\cos(\phi-\phi') + (z - z')^2)^{\frac{3}{2}}} \begin{pmatrix} r\cos\phi - r'\cos\phi' \\ r\sin\phi - r'\sin\phi' \\ z - z' \end{pmatrix} \\
&= \sigma \int_{0}^{2\pi} \, \mathrm{d}\phi' \int_{0}^{\infty} \, \mathrm{d}r' \left( \frac{r'}{ (r^2 + r'^2 - 2rr'\cos(\phi-\phi') + (z - d/2)^2)^\frac{3}{2}} \begin{pmatrix} r\cos\phi - r'\cos\phi' \\ r\sin\phi - r'\sin\phi' \\ z - d/2 \end{pmatrix} - \frac{r'}{(r^2 + r'^2 - 2rr'\cos(\phi-\phi') + (z + d/2)^2)^\frac{3}{2}} \begin{pmatrix} r\cos\phi - r'\cos\phi' \\ r\sin\phi - r'\sin\phi' \\ z + d/2 \end{pmatrix} \right)
\end{align}$
Soweit war es ja noch sehr einfach. Bei dem Versuch die Integration über die Winkel- und Radialkoordinate auszuführen, komme ich auf kein wirkliches Ergebnis.
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Orangenschale
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| Beitrag No.9, eingetragen 2017-12-24
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Erinnere dich an diesen Beitrag:
\quoteon(2017-12-22 09:04 - Orangenschale in Beitrag No. 5)
\quoteon(2017-12-22 00:55 - Limesine in Beitrag No. 4)
Ich hab bei meiner Wahl der Koordinaten nur das elektrische Feld entlang der $z$-Achse betrachtet. So macht das Ganze viel mehr Sinn. Ich werde mich morgen mal an die Rechnung setzen und mich bei Erfolg oder Misserfolg melden.
\quoteoff
Das ist auch richtig und ich wollte später darauf zurückkommen, ändert aber nichts an der Tatsache, dass du erstmal formal einige Fehler gemacht hast hast.
\quoteoff
Ich wollte erstmal auf die formalen Fehler hinaus, und dann mit guten Argumenten fortfahren. Starten wir doch mal mit deier Gleichung (Achtung: ich habe einen formalen Fehler korrigiert, denn in der Ladungsdichte, also den $\delta$-Funktionen müssen gestrichene Koordinaten stehen):
$$\vec{E}(r,\varphi,z) = \sigma \int_{0}^{2\pi} \, \mathrm{d}\varphi' \int_{0}^{\infty} \, \mathrm{d}r' \int_{-\infty}^{\infty} \, \mathrm{d}z' \frac{r' ( \delta(z'-d/2) - \delta(z'+d/2) )}{(r^2 + r'^2 - 2rr'\cos(\varphi-\varphi') + (z - z')^2)^{\frac{3}{2}}} \begin{pmatrix} r\cos\varphi - r'\cos\varphi' \\ r\sin\varphi - r'\sin\varphi' \\ z - z' \end{pmatrix}.$$
Dies ist die korrekte Darstellung der Lösung als Integral (hoffentlich ohne formale Fehler), noch bevor wir irgendeine Vereinfachung durchgeführt haben. Nun kommen die Argumente und Annahmen, die es uns erlauben, das Integral zu lösen.
1. Zuerst fällt natürlich auf, dass das System translationsinvariant in der $x$-$y$-Ebene ist. Das bedeutet, wir können den Ursprung des Koordinatensystems in dieser Ebene so wählen wie wir wollen und erhalten stets das gleiche Ergebnis. Das bedeutet, es reicht aus, das elektrische Feld für $r=0$ zu berechnen.
2. Das System ist rotationsinvariant bei Drehung um die $z$-Achse. Es reicht als aus, das elektrische Feld für $\varphi=0$ zu berechnen.
Mit diesen beiden Vereinfachungen kommen wir schonmal recht weit und erhalten
$$\vec{E}(0,0,z) = \sigma \int_{0}^{2\pi} \, \mathrm{d}\varphi' \int_{0}^{\infty} \, \mathrm{d}r' \int_{-\infty}^{\infty} \, \mathrm{d}z' \frac{r' ( \delta(z'-d/2) - \delta(z'+d/2) )}{(r'^2 + (z - z')^2)^{\frac{3}{2}}} \begin{pmatrix} -r'\cos\varphi' \\ - r'\sin\varphi' \\ z - z' \end{pmatrix}.$$
Wie du sehen kannst, kommt der Term $\cos(\varphi-\varphi')$ gar nicht mehr vor, da wir $r=0$ angenommen haben. Überhaupt kommt die Inegrationsvariable $\varphi'$ nur noch in der $x$- und $y$-Komponente des elektrischen Feldes vor. Da $\cos\varphi'$ und $\sin\varphi'$ bei Integration über eine voll Periode von $2\pi$ identisch verschwindet, bleibt nur noch die $z$-Komponente übrig. Die Integration der $z$-Komponente über $\varphi'$ ergibt einen Vorfaktor $2\pi$, damit erhalten wir:
$$\vec{E}(0,0,z) = 2\pi\sigma \int_{0}^{\infty} \, \mathrm{d}r' \int_{-\infty}^{\infty} \, \mathrm{d}z' \frac{r' ( \delta(z'-d/2) - \delta(z'+d/2) )}{(r'^2 + (z - z')^2)^{\frac{3}{2}}} (z-z')\vec e_z.$$
Nun kannst du erstmal die $r'$ Integration durchführen, und zum Schuss die $z'$ Integration.
Frohes Fest
OS
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-24
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Das mit den gestrichenen Koordinaten in den $\delta$-Funktionen war diesmal nur ein Schreibfehler. Ich habs auch mal oben bei im Beitrag korrigiert.
Die Argumente konnte ich soweit nachvollziehen und entsprechen auch der Intuition, die ich am Anfang hatte.
Mir stellt sich nur noch die Frage, ob man auch das gleiche Ergebnis erhalten würde, wenn man das Integral einfach stumpf durchrechnen würde, ohne irgendwelche Argumente und Annahmen bezüglich der Symmetrien zu machen.
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Orangenschale
Senior
Dabei seit: 31.05.2007
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Wohnort: Heidelberg, Deutschland
| Beitrag No.11, eingetragen 2017-12-24
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Ich habe mich früher auch schon oft gefragt, ob man bei derartigen Aufgaben
einfach stumpf rechnen kann. Nach vielen Versuchen bin ich zu der Erkenntnis gelangt, dass es wohl nicht geht. Es gibt viele Gründe, warum es eventuell nicht funktioniert. Ich glaube, im Kern der Sache führen Symmetrien zu Vereinfachungen, die Probleme erst lösbar machen. In diesem Fall ist es schon die Wahl von Polarkoordinaten, die man ja gerade so wählt, um Symmetrien zu nutzen. Sie führt dazu, dass die Beiträge zum resultierenden elektrischen Feld besonders symmetrisch addiert (also integriert) werden können.
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-24
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Das ist einerseits schade, andererseits auch toll.
Vielen dank für die Hilfe. Die restliche Rechnung sollte relativ einfach sein. Integrale dieser Art habe ich schon oft ausgerechnet.
Falls jemand noch mehr zum Thema "stumpfes Ausrechnen des Integrals" hat, wäre das interessant zu hören.
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Ehemaliges_Mitglied hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Ehemaliges_Mitglied hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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