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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Grad eines Polynoms, Körpererweiterung: Verständnisproblem bei der Lösung
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Universität/Hochschule Grad eines Polynoms, Körpererweiterung: Verständnisproblem bei der Lösung
Marmaduke
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-01-17

\(\begingroup\)
Hallo,

wir hatten auf einem Übungszettel die Aufgabe:

Sei L\K algebraische Körpererweiterung, a,b \(\in\) L. Sei f \(\in\) K[x,y] ein Polynom, zeigen sie deg f(a,b) \(\leq\) def(a)*deg(b).

Die dazugehörige Lösung lautet:

f(a,b) \(\in\) K(a,b) =>
deg f(a,b) \(\leq\) [K(a,b):K] \(\leq\) [K(a):K]*[K(b):K] = deg (a) * deg (b)

Warum das Polynom im rationalen Funktionkörper liegt ist mir klar, aber wieso folgt daraus, dass der Grad kleiner gleich als [K(a,b):K] ist? Die nächste Ungleichung ist mir wieder klar, aber die letzte Gleichung verstehe ich auch nicht. Dabei wurde auf einen Satz im Skript verwiesen, der lautet deg \(m_a\) = [K(a):K]. Wieso entspricht der Gras des Minimalpolynoms dem von f(a,b)?

Ich würde mich sehr freuen, wenn mir einer diese zwei Stellen erläutern könnte.

mit freundlichen Grüßen
\(\endgroup\)


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juergen007
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.08.2006
Mitteilungen: 2737
Aus: Braunschweig
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-01-17

\(\begingroup\)
2018-01-17 01:10 - Marmaduke im Themenstart schreibt:
Hallo,

Sei L\K algebraische Körpererweiterung, a,b \(\in\) L. Sei f \(\in\) K[x,y] ein Polynom, zeigen sie deg f(a,b) \(\leq\) def(a)*deg(b).

Die dazugehörige Lösung lautet:

f(a,b) \(\in\) K(a,b) =>
deg f(a,b) \(\leq\) [K(a,b):K] \(\leq\) [K(a):K]*[K(b):K] = deg (a) * deg (b)

Warum das Polynom im rationalen Funktionkörper liegt ist mir klar, aber wieso folgt daraus, dass der Grad kleiner gleich als [K(a,b):K] ist?
Die nächste Ungleichung ist mir wieder klar, aber die letzte Gleichung verstehe ich auch nicht.
Dabei wurde auf einen Satz im Skript verwiesen, der lautet deg \(m_a\) = [K(a):K]. Wieso entspricht der Gras des Minimalpolynoms dem von f(a,b)?

Ich würde mich sehr freuen, wenn mir einer diese zwei Stellen erläutern könnte.


Gras hilft wink

Den Ausdruck $\displaystyle \deg m_a = [K(a):K]$ verstehe ich als den Grad von  $K(a)$ über K.
In der Zeile:
$\displaystyle f(a,b)\in K(a,b)\Rightarrow \deg f(a,b)\leq[K(a,b):K]\leq[K(a):K]*[K(b):K]=\deg(a)*\deg(b)$ ist das letzte "gleich" aus dem Multiplikationssatz für Körpergrade in Körpererweiterungen. Aber Gleichheit gilt nur, wenn a und b nicht algebraisch konjugiert sind, also a und b verschiedene Mimimalpolynome haben, meine ich.
Sonst wird $\deg f(a,b)< deg(a)*deg(b)$.
HtH





\(\endgroup\)


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juergen007
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Mitteilungen: 2737
Aus: Braunschweig
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-01-17

\(\begingroup\)
2018-01-17 02:10 - juergen007 in Beitrag No. 1 schreibt:

In der Zeile: $\displaystyle f(a,b)\in K(a,b)\Rightarrow \deg f(a,b)\leq[K(a,b):K]\leq[K(a):K]*[K(b):K]=\deg(a)*\deg(b)$ ist das letzte "gleich" aus dem Multiplikationssatz für Körpergrade in Körpererweiterungen.

Ich wurde darauf per PN (warum?) aufmerksam gemacht, dass dieser Satz nicht ganz korrekt ist.
Den "Hinweiser" bitte ich öffentlich seine Sichweise darzustellen.

Ich fand nach längerem googlem nicht die genaue Definition von
"Multiplikationssatz für Körpergrade in Körpererweiterungen". Pardon.
\(\endgroup\)


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