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Moderiert von Dixon Orangenschale
Physik » Atom-, Kern-, Quantenphysik » Bewegungsgleichung im Heisenbergbild aus Dirac- Gleichung
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Autor
Universität/Hochschule J Bewegungsgleichung im Heisenbergbild aus Dirac- Gleichung
Physiker123
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.02.2016
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-01-17

\(\begingroup\)
Hallo guten Abend,
mit der folgenden Übungsaufgabe komme ich nicht weiter



Bisher konnte ich lediglich herausfinden, dass:

\[\dot{x}_H=\frac{i}{\hbar}\big([c\vec{\alpha}\vec{p},x]_H+[\beta mc^2,x]_H\big)\]
Es läuft also auf die Berechnung der Kommutatoren hinaus. Diese werden dann anschließend in das Heisenbergbild transformiert.

Ist es richtig, dass:

\[\vec{\alpha}=\begin{pmatrix} 0 & \sigma \\ \sigma & 0  \end{pmatrix}\]
\[\vec{\beta}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\]
hierbei ist mit \(1\) die 2x2- Einheitsmatrix gemeint.

\[\vec{p}=\begin{pmatrix} \frac{1}{c}\partial_t \\ -\nabla \end{pmatrix}\]
\[\vec{x}=\begin{pmatrix} ct \\ \vec{r} \end{pmatrix}\]
Bei der Berechnung ergeben sich Schwierigkeiten, da manche Matrizenprodukte nicht definiert sind. Habe ich die Notation richtig verstanden?

Wo liegt mein Fehler?

Vielen Dank an alle die helfen
\(\endgroup\)


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dromedar
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-01-17

\(\begingroup\)
2018-01-17 19:14 - Physiker123 im Themenstart schreibt:
Habe ich die Notation richtig verstanden?

Nein. ${\bf x}$ und ${\bf p}$ sind keine 4er-Vektoren.

Grüße,
dromedar
\(\endgroup\)


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Physiker123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-17


Vielen Dann für deine Nachricht

Ist x ein Skalar und p der gewöhnliche Impulsoperator? In diesem Fall ist die oben angegebe Schreibweise für Alpha etwas irreführend. Handelt es sich dabei eigentlich um einen dreikomponentigen Vektor?



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Orangenschale
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Mitteilungen: 2168
Aus: Jena, Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-01-17

\(\begingroup\)
Hallo Physiker123,

es spielt für die erste Aufgabe gar keine Rolle, was genau sich hinter $\boldsymbol \alpha_i$ verbirgt. Die Impulsoperatoren sind die ganz gewöhnlichenj Impulse wie du sie von der Schrödingergleichung kennst.

Viel wichtiger ist es, mit der Darstellung im Heisenbergbild klarzukommen. Du kennst anscheinend die Bewegungsgleichung für einen einen Operator $O_H$ im Heisenbergbild: $$\partial_t O_H=\frac i\hbar [H,O_H].$$ Falls du es noch nicht weißt, dann mach dir klar (also rechne nach), dass gilt $$[H,O_H]=[H,O]_H,$$
wobei mit $O$ einfach der Operator im Schrödingerbild gemeint ist. Nutze zudem noch die Einsteinsche Summenkonvention im Hamiltonian (gewöhn dich dran wenn du mit relativistischen Gleichungen arbeitest) $\boldsymbol \alpha \boldsymbol x=\alpha_i x_i$.  

Viele Grüße
OS


-----------------
If one is working from the point of view of getting beauty into one's equation, ... one is on a sure line of progress.

P.A.M. Dirac
\(\endgroup\)


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Physiker123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-18

\(\begingroup\)
Hallo. Also ich denke das Heisenbergbild habe ich verstanden. Was mir Schwierigkeiten bereitet ist die Dirac- Gleichung und die Einsteinsche Summenkonvention.

So weit ich weiß lautet diese: Über zwei gleiche Indizes, von denen der eine oben und der andere unten zu stehen hat, wird von 0 bis 3 summiert. Zur Übung nehme ich mir mal den Ausdruck:

\[\vec{\alpha}\vec{p}\]
vor. Nach deiner letzten Nachricht gilt:

\[\vec{\alpha}\vec{p}=\alpha_ip_i=\alpha_i g_{il}p^l=\sum\limits_{l=0}^{3} \alpha_ig_{il}p^l\]
Ausgeschrieben:

\[\vec{\alpha}\vec{p}=\alpha_ig_{i0}p^0+\alpha_ig_{i1}p^1+\alpha_i g_{i2}p^2+\alpha_i g_{i3}p^3\]
Ist das soweit korrekt?
\(\endgroup\)


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dromedar
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-01-18

\(\begingroup\)
2018-01-18 12:21 - Physiker123 in Beitrag No. 4 schreibt:
\[\vec{\alpha}\vec{p}=\alpha_ig_{i0}p^0+\alpha_ig_{i1}p^1+\alpha_i g_{i2}p^2+\alpha_i g_{i3}p^3\]
Ist das soweit korrekt?

Nein:

2018-01-17 19:44 - dromedar in Beitrag No. 1 schreibt:
${\bf x}$ und ${\bf p}$ sind keine 4er-Vektoren.

Folglich können in den Summen auch keine Indizes mit dem Wert 0 auftauchen...
\(\endgroup\)


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Physiker123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-18

\(\begingroup\)
Also jetzt blicke ich nicht mehr durch smile

Du sagst x und p sind keine Vierervektoren. Auf der anderen Seite wird mir empfohlen die Einsteinsche Summenkonvention zu verwenden. Diese findet doch aber nur im Vierer- Formalismus, also der speziellen Relativitätstheorie Anwendung  confused

Im Schwabl auf Seite 203 wird mein Problem behandelt. Allerdings ist die Lösung dort mehr als kurz gehalten.

Kannst du mir z.B. den Kommutator:

\[[\vec{\alpha}\vec{p},\vec{x}]\]
mal aufschreiben?

\(\endgroup\)


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dromedar
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-01-18

\(\begingroup\)
2018-01-18 13:14 - Physiker123 in Beitrag No. 6 schreibt:
Du sagst x und p sind keine Vierervektoren. Auf der anderen Seite wird mir empfohlen die Einsteinsche Summenkonvention zu verwenden. Diese findet doch aber nur im Vierer- Formalismus, also der speziellen Relativitätstheorie Anwendung  confused

Dass Orangenschale von "relativistischen Gleichungen" gesprochen hat, hat wohl für Verwirrung gesorgt. Gemeint ist hier einfach ein Skalarprodukt von 3er-Vektoren:

    $\displaystyle\boldsymbol\alpha{\bf p}=
\sum_{i=1}^3\alpha_i\,p_i$

Und wenn man gern die Summationskonvention verwendet, kann man das als

    $\displaystyle\boldsymbol\alpha{\bf p}=
\alpha_i\,p_i$

schreiben.

Beim Ausrechnen des Kommutators sollte man komponentenweise vorgehen. Die $k$-te Komponente lautet:

    $\displaystyle
\bigl(\,[\boldsymbol\alpha{\bf p},{\bf x}]\,\bigr)_k=
[\boldsymbol\alpha{\bf p},x_k]=
\sum_{i=1}^3[\alpha_i\,p_i,x_k]=
\sum_{i=1}^3\alpha_i[p_i,x_k]=\cdots$
\(\endgroup\)


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Orangenschale
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-01-19

\(\begingroup\)
Hallo an alle,

ja da habe ich wohl etwas für Verwirrung gesorgt. Aber ich denke bei solchen Ausdrücken wie $\boldsymbol a\boldsymbol b$ eben immer sofort an die (Einsteinsche) Summenkonvention $a_ib_i$, da diese Schreibweise so viele Vorteile hat. Oder auch $\boldsymbol a\times\boldsymbol b=\epsilon_{ijk}a_ib_j\boldsymbol e_k$.

Zur Berechnung des Kommutators $[\boldsymbol \alpha\boldsymbol p,\boldsymbol x]$ würde ich dir daher empfehlen, immer komponentenweise vorzugehen (wie es dromedar vormacht). Deine Rechnung kann dann einfach so aussehen (man beachte die Kürze durch die Summenkonvention): $$\partial_t x_i =\frac{i}{\hbar}[H,x_i]_H = \frac{i}{\hbar} [c\alpha_jp_j +\beta m c^2,x_i]_H=\frac{i}{\hbar}c(\alpha_j [p_j,x_i])_H = \frac{i}{\hbar}c(\alpha_j(-1)i\hbar \delta_{ij})_H=c(\alpha_i)_H=c\alpha_i(t),$$ also genau das Gesuchte.
Der untere Index $H$ bedeutet dabei natürlich "Heisenbergbild", und es gilt ja bekanntlich (siehe deinen Startpost) $$O_H = O(t)=e^{iHt/\hbar}Oe^{-iHt/\hbar}.$$


Viele Grüße
OS


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P.A.M. Dirac
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Orangenschale
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-01-21

\(\begingroup\)
Da sich Physiker123 nicht mehr meldet würde ich gern an dieser Stelle meine Ergenisse für die Nachwelt konservieren, ohne ausführliche Rechnung, aber zumindest die wichtigsten Zwischenergebnisse.

Die Bewegungslgleichung des Ortsoperators im Heisenbergbild wurde schon hergeleitet: $$\dot x_i(t) = c\alpha_i(t).$$ Im Folgenden wird vor allem der Kommutator $[H,\alpha_i]$ benötigt, den ich deswegen hier schon angebe. Unter Verwendung der Relationen (Antikommutatoren) $\alpha_i\alpha_j+\alpha_j\alpha_i=0$ (für $i\neq j$), $\alpha_i^2=1_{4\times4}$ und $\alpha_i\beta+\beta\alpha_i=0$ findet man $$[H,\alpha_i]=2H\alpha_i-cp_i1_{4\times4}.$$ Im Folgenden lasse ich $1_{4\times4}$ allerdings weg und schreibe nur $p_i$. Zudem zeigt man leicht, dass der Impulsoperator im Heisenbergbild keine Zeitabhängigkeit besitzt, da er mit dem Hamilonoperator vertauscht, also $$(p_i)_H = p_i(t) = p_i.$$ Nun ist es leicht, die Bewegungslgeichung der $\alpha_i$ im Heisenbergbild zu ermitteln:$$\dot\alpha_i(t) = \frac{i}{\hbar}[H,\alpha_i]_H = \frac{2Hi}{\hbar}\alpha_i(t)-\frac{i}{\hbar}cp_i.$$ Diese Differentialgleichung lässt sich unter der Anfangsbedingung $\alpha_i(0)=\alpha_i$ leicht lösen. Das Ergebnis für $\alpha_i(t)$ kann dann in die Bewegungsgleichung für $x_i(t)$ eingesetzt und integriert werden, wobei die Integrationskonstante durch $x_i(0)=x_i$ eindeutig festgelegt wird.  

Viele Grüße,
OS


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P.A.M. Dirac
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