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Physik » Mathematische Physik » Fundamentallösung eines Operators bestimmen
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Universität/Hochschule J Fundamentallösung eines Operators bestimmen
Sito
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-01-19

\(\begingroup\)
Guten Abend zusammen,

Sei \(a\in\mathbb{C}\) mit positivem Imaginärteil. Zu berechnen ist eine Fundamentallösung \(E\) des Operators \(L:=\frac{d^2}{dx^2}+a^2\).

Meine Idee: Es gilt \(L(x)E(x)=\delta(x)\), die Fouriertransformation liefert dann \(\hat{L}(k)\hat{E}(k)=1\) (im Distributionensinn) und daraus folgt direkt \(\hat{E}(k)=\frac{1}{\hat{P}(k)}\). In diesem Fall gilt \(\hat{P}(k)=a^2-k^2\). Und somit

\(\begin{align}E(x)&=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}\frac{e^{-ikx}}{a^2-k^2}dk\\ &=2\pi i\sum\limits_{Im(b)>0}{\rm{Res}}\left(\frac{e^{-ikx}}{a^2-k^2},b\right)\\ &= \frac{1}{2ai}e^{iax},\end{align}\)
wobei ich hier den Residuensatz gebraucht habe mit einem geschlossenen Halbkreis in der oberen Halbebene.

In den Lösungen heisst es nun aber, dass die Lösung \(E(x)=\frac{1}{2ai}e^{ia|x|}\) ist.

Wo genau entsteht hier der Betrag und wieso?

Gruss Sito
\(\endgroup\)


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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-01-19

\(\begingroup\)
Hallo Sito,

2018-01-19 18:22 - Sito im Themenstart schreibt:
[...] mit einem geschlossenen Halbkreis in der oberen Halbebene.

Das funktioniert aber nur für Werte von $x$ mit einem bestimmten Vorzeichen. Um dieses Problem zu lösen, musst Du eine Fallunterscheidung machen, und die liefert Dir dann den Betrag.

Grüße,
dromedar
\(\endgroup\)


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Sito
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-20

\(\begingroup\)
Danke für den Beitrag dromedar!

2018-01-19 18:42 - dromedar in Beitrag No. 1 schreibt:
Das funktioniert aber nur für Werte von \(x\) mit einem bestimmten Vorzeichen.
Kannst du mir erklären, wieso das so ist?

Ich verstehe leider nicht so ganz woran ich das erkenne. Meine Kenntnisse in Funktionentheorie sind nicht die besten, aber ich dachte, dass es für die Anwendung des Residuensatzes nur eine geschlossenen Kontur braucht (also es egal ist ob ich in der oberen oder unteren Halbebene bin). Wenn ich nun aber den gleichen Vorgang wiederhole wie oben, nur dieses Mal entlang eines Kreises in der unteren Halbebene integriere, erhalte ich \(E(x)=\frac{1}{2ai}e^{-iax}\). Ich nehme schwer an, dass dies das Resultat der Fallunterscheidung ist, aber leider sehe ich nicht wieso ich diese machen muss.

Gruss Sito
\(\endgroup\)


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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-01-20

\(\begingroup\)
Du gehst aus von einem Integral der Form

    $\displaystyle
\int_{\textstyle\mkern1mu\Bbb R}\;\;\cdots\;\;=
\lim_{R\to\infty}\int_{\textstyle[-R,R]}\;\;\cdots\;\;$

und versuchst, das in ein Integral über eine geschlossene Kurve zu überführen:

    $\displaystyle
\lim_{R\to\infty}\int_{\textstyle[-R,R]}\;\;\cdots\;\;=
\lim_{R\to\infty}\int_{\textstyle[-R,R]
\cup\bigl\{e^{iR\varphi}:\varphi\in[0,\pi]\bigr\}}\;\;\cdots\;\;$

Damit das funktioniert, muss das Integral über den zusätzlichen Bogen $\bigl\{e^{iR\varphi}:\varphi\in[0,\pi]\bigr\}$ für $R\to\infty$ schnell genug verschwinden. Und das setzt voraus, dass das Argument Deiner Exponentialfunktion $e^{-ikx}$ auf diesem Bogen einen negativen Realteil hat.
\(\endgroup\)


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