Die Mathe-Redaktion - 20.07.2018 06:38 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
ListenpunktSchwätz / Top 15
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktAnmeldung MPCT Juli
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind Gäste und Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von mire2 StrgAltEntf
Logik, Mengen & Beweistechnik » Mengenlehre » Vereinigung abzählbarer Mengen
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Vereinigung abzählbarer Mengen
Welsoe
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 19.01.2018
Mitteilungen: 4
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-01-19

\(\begingroup\)
Hallo zusammen,

ich möchte zeigen, dass \(A \cup B\) abzählbar ist, wenn A und B abzählbar unendlich sind. Nun, da A und B abzählbar sind, existieren zwei Bijektionen (f1 und f2), die zwei Folgen definieren:
a0,a1,a2,...
b0,b1,b2,...

Ich hatte die Idee, die folgende Folge zu bilden:
a0,b0,a1,b1,...

Und dies durch folgende Funktion formalisiert:
\[
g: \mathbb{N} \rightarrow A \cup B \\
x \mapsto
   \begin{cases}
f_1(\frac{x}{2})\text{, falls }x\text{ mod }2 = 0 \\
f_2(\frac{x - 1}{2})\text{, falls }x\text{ mod }2 = 1 \\
   \end{cases}
\]

Mein Problem ist jetzt, dass die Mengen A und B ja nicht zwangsweise disjunkt sind. D.h. wenn das Element a in beiden Mengen vorkommt, würde ich es in meiner Definition doppelt aufzählen und damit hätte ich keine injektive und damit keine bijektive Funktion g und damit keine abzählbare Menge mehr. Wie kann ich dieses Problem lösen?

Vielen Dank im Voraus!
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Wauzi
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11177
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-01-19


Hallo,
eine Möglichkeit ist, die Menge A abzubilden und den Rest der andern, also B\A
Beachte die Möglichkeit, daß die zweite Menge endlich sein kann
Gruß Wauzi


-----------------
Primzahlen sind auch nur Zahlen



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Welsoe
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 19.01.2018
Mitteilungen: 4
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-19


2018-01-19 20:57 - Wauzi in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo,
eine Möglichkeit ist, die Menge A abzubilden und den Rest der andern, also B\A
Beachte die Möglichkeit, daß die zweite Menge endlich sein kann
Gruß Wauzi

Tut mir leid, habe etwas nicht ganz angegeben: A und B sind definitiv abzählbar unendlich.

Aber leider kann ich nicht nachvollziehen, was du mit "die Menge A abzubilden und den Rest der anderen" meinst...



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Wauzi
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11177
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-01-19


abzählbar heißt, es gibt eine bijektive Abbildung nach IN
Also greife zu einem Trick (ähnlich wie Deine Idee)
Bilde A auf 2IN und B\A auf 2IN+1 ab, fals B\A unendlich ist.
Wenn es endlich ist, mußt Du die Idee etwas modifizieren.
Und: B\A kann endlich sein!!



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Welsoe
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 19.01.2018
Mitteilungen: 4
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-20

\(\begingroup\)
Danke für den Hinweis, dass B \ A endlich sein kann. Ich habe das nun nicht durch diesen Trick gemacht - weil ich ihn im ersten Moment nicht greifen konnte - sondern stattdessen eine Fallunterscheidung durchgeführt. Ist der folgende Beweis denn dann korrekt? (f1 und f2 seien wie im Ausgangspost definiert)

1. Fall: \(B \setminus A\) ist unendlich.
Man bildet eine neue Folge mit \(c_0, c_1, c_2, ... , c_j, ...\) mit \(c_i \in B \setminus A\). Die Abb. \(f_3: \mathbb{N} \rightarrow B \setminus A\) beschreibe diese Folge.
Nun betrachten wir die Folge \(a_0,c_0,a_1,c_1,a_2,c_2,...,a_j,c_j,...\). Für diese Folge müssen wir eine Bijektion \(g: \mathbb{N} \rightarrow A \cup B\) finden. Diese Bijektion lautet:

\[
g: \mathbb{N} \rightarrow A \cup B\\
\begin{equation*}                    
x \mapsto
\begin{cases}
f_1\left(\frac{x}{2}\right) \text{ wenn } x\text{ mod } 2 = 0 \\
f_3\left(\frac{x-1}{2}\right) \text{ wenn } x\text{ mod } 2 = 1 \\
\end{cases}
\end{equation*}
\]

g ist injektiv aufgrund der Einschränkung von \(f_3\) und auch surjektiv, somit die gesuchte Bijektion.


2. Fall: \(B \setminus A\) ist endlich.
Eine neue Folge wird gebildet, indem wir zunächst alle Elemente aus \(B \setminus A\) aufzählen  und anschließend die Folge, die durch \(f_1\) beschrieben wird, auflisten. D.h. wenn \(\#(B \setminus A) = n\), hat die Folge die Form \(c_0,c_1, ..., c_{n-1}, a_0, a_1, a_2, ... , a_j, ...\) mit \(c_i \in B \setminus A\) und \(a_i \in A\). Sei \(f_4: [n] \rightarrow B \setminus A\) mit \(n = \#(B \setminus A)\) die Abbildung, die die endliche Folge \(c_0,c_1, ..., c_{n-1}\) definiert. Die folgende Bijektion \(h\) beschreibt mit \(n = \#(B \setminus A)\) diese Folge:

\[
h: \mathbb{N} \rightarrow A \cup B \\
\begin{equation*}                    
x \mapsto
\begin{cases}
f_4\left(x\right) \text{ wenn } x < n \\
f_1\left(x-n\right) \text{ wenn } x \geq n \\
\end{cases}
\end{equation*}
\]
In beiden Fällen lässt sich eine Bijektion finden und somit ist, wenn A und B abzählbar unendlich sind, auch immer die Vereinigung dieser beiden abzählbar unendlich.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Welsoe
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 19.01.2018
Mitteilungen: 4
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-22


^kleiner push, würde mich freuen, wenn mir wer weiterhelfen könnte :)



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Welsoe hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2018 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]