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  Umkehrabbildung einer stetigen Abbildung messbar? |
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targon
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 01.04.2016
Mitteilungen: 114
 |  Themenstart: 2018-01-20
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Hallo miteinander,
über die folgende Frage habe ich schon länger nachgedacht und habe leider auch im Internet nichts dazu gefunden.
Gegeben seien zwei topologische Räume \(X\) und \(Y\) und eine bijektive, stetige Abbildung \(f : X \to Y\).
Es ist klar, dass \(f^{-1}\) nicht stetig sein muss, aber ich frage mich nun, ob die Umkehrabbildung zumindest noch Borel-messbar ist.
Über eine Antwort in einem Spezialfall wie \(X = Y = \mathbb{R}^n\) oder ähnliches wäre ich auch schon sehr dankbar.
Gruß
Targon
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qzwru
Senior 
Dabei seit: 24.09.2013
Mitteilungen: 390
| Beitrag No.1, eingetragen 2018-01-20
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Hallo targon,
im Allgemeinen nicht, nimm z.B. $X = \{1, 2\}$, $\tau_1 =\mathcal P(X)$ und $\tau_2 = \{\emptyset, X \}$ und $f$ als Identität (ist $\tau_1 - \tau_2$ stetig).
Für den Spezialfall $X=Y=\mathbb R^n$ mit euklidischer Topologie sollte es gelten: Ist $O\subseteq \mathbb R^n$ offen so gibt es abzählbar viele kompakte Mengen $(K_n)_{n\in \mathbb N}$ mit $O = \bigcup_{n \in \mathbb N}K_n$. Nun ist $(f^{-1})^{-1}(O) = f(O) = \bigcup_{n \in \mathbb N}f(K_n)$ messbar als abzählbare Vereinigung kompakter Mengen.
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targon
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 01.04.2016
Mitteilungen: 114
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-20
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Ah cool, das leuchtet ein. Vielen Dank!
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Gockel
Senior 
Dabei seit: 22.12.2003
Mitteilungen: 25548
Wohnort: Jena
 | Beitrag No.3, eingetragen 2018-01-20
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Man beachte aber, dass eine stetige injektive Abbildung $\IR^n\to\IR^n$ automatisch offen ist, d.h. die Umkehrabbildung einer bijektiven stetigen Abbildung $\IR^n\to\IR^n$ ist automatisch stetig. Das ist ein nichttrivialer Satz, den man normalerweise mit Hilfe algebraischer Topologie beweist. Und hier ist ganz entscheidend, dass es sich um Mannigfaltigkeiten gleicher Dimension handelt. Für allgemeine Räume gilt so etwas nicht.
mfg Gockel.
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targon
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 01.04.2016
Mitteilungen: 114
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-20
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Das ist ja interessant! Das war mir bisher nicht bewusst. Hatte nur im Kopf, dass es im mehrdimensionalen nicht mehr so einfach ist mit der Umkehrabbildung, dass es da auch stetige bijektive Abbildungen gibt, deren Umkehrabbildung nicht mehr stetig ist. Standardbeispiel ist da ja die Polarkoordinatentransformation, also
\( \Phi : (0, \infty) \times [- \pi , \pi ) \to \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\} \)
\((r,\varphi) \mapsto (r \cos (\varphi) , r \sin (\varphi) )\) ,
aber dass da die Stetigkeit schief geht, braucht man tatsächlich den Rand im Definitionsbereich. Definiert man dieselbe Abbildung auf \( (0, \infty) \times (- \pi , \pi ) \), tritt genau der Fall ein, den du auch grad beschrieben hast und die Abbildung wird offen, also die Umkehrung stetig.
Habe hier auch einen Beweis gefunden, den man (zumindest fast) auch ohne Kenntnisse in algebraischer Topologie verstehen kann (Aufgabe 3).
Danke auf jeden Fall euch für eure hilfreichen Antworten!
Gruß
Targon
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