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  Geladener Ring in Zylinder und Kugelkoordinaten |
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LordNyxus
Junior 
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Mitteilungen: 7
 |  Themenstart: 2018-01-21
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Hallo allerseits.
Demnächst steht bei mir eine Klausur zum Thema theoretische Elektroynamik an. Deswegen geh ich diverse Beispiele durch und bin jetzt auf folgendes gestossen:
Ein Kreisring mit Radius a liegt in der z=b Ebene und ist mit einer Linienladung belegt, die in azimuthaler Richtung variiert.
a) Geben Sie die Ladungsdichte in Zylinder und in Kugelkoordinaten an?
Zylinderkoordinaten stell ich mir einfach vor:
\[\rho(\vec(r))=\lambda \delta(r -a)\delta(z-b)\cos(\phi)\]
Sprich die Ladungsdichte mal dem Cosinus, welche die azimuthale Änderung beeinhaltet.
Wie geh ich jetzt in Kugelkoordinaten vor? Gefunden hab ich folgende Formel, bin mir aber noch nicht ganz sicher bzgl. ihrer Interpretation.
\[\rho(\vec(r))=\frac{\lambda}{\sin(\theta)} \delta(r -a)\delta(\theta-\pi/s)cos(\phi)\]
In meiner Quelle gibt es nämlich keine Herleitung der Formel. Erleichtert die Sache also nicht ganz, dass die fertige Formel einfach so dasteht.
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Orangenschale
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2018-01-21
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Hallo LordNyxus,
bedenke die unterschiedliche Bedeutung von $r$ in Zylinder und Kugelkoordinaten. Denke auch nochmal über die Einschränkung von $\theta$ in Kuglkoordinaten nach (was ist $s$?).
Viele Grüße
OS
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LordNyxus
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-22
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Hallo Orangenschale^^
Naja, der Vektor \(\vec r \) in den Zylinder Koordinaten befindet sich ja sozusagen in einer Ebene und die Ausrichtung wird nur von einem Winkel bestimmt. Welche Ebene dabei von z. Der Betrag ist dabei die Länge des r Vektors. a ist dabei in unserem Fall der Abstand vom Ursprung zum Ring. (Also der Radius des Rings)
In Kugelkoordinaten braucht man zur eindeutigen Beschreibung der Ausrichtung von \(\vec r \) zwei Winkel. Auf Grund unserer Symmetrie bleibt einer dieser Winkel aber konstant, während der zweite variiert wird um alle Ladungen auf dem Ring zu erreichen. Das s ist in Wahrheit eine 2. Keine Ahnung wie der Tippfehler passiert ist. Es heisst damit:
\[\rho (\vec r)=\frac{\lambda}{\sin(\theta)}\delta(r-a)\delta(\theta-\pi/2)\cos(\phi) \]
Bleiben mir konkret folgende Punkte:
1. Du hast die Einschränkung bzgl. \(\theta\) erwähnt. Dieser ist beschränkt auf den Bereich zwischen 0 und \(\pi\). Das \(\delta(\theta-\pi/2)\) entspricht damit dem "liegt in der z=b Ebene" aus der Angabe. Für einen anderen Winkel würde der Ring nicht in dieser Ebene liegen, sondern wäre sozusagen gekippt.
2. Ist der Cosinus Term wirklich richtig? bzw. ist das dasselbe \(\phi\) wie es normal als zweiter Winkel für die Kugelkoordinaten verwendet wird, oder ein anderer Winkel? (Würde beides jeweils auf eine Weise Sinn machen.)
3. Kann ich mir die Azimutale Änderung der Ladungsdichte so vorstellen, dass an einem Punkt des Rings die Ladungsdichte maximal ist und genau auf der Gegenseite minimal?
4. Ich behaupte jetzt mal, der Term vor den Deltas ist halbwahr. Der Sinus Term müsste ja schon Teil des Linienladungsausdrucks sein.
Mein Vorschlag:
\[\rho (\vec r)=\frac{Q}{2\pi a^2\sin(\theta)}\delta(r-a)\delta(\theta-\pi/2)\cos(\phi) \]
Sprich eine Transformation des allgemeinen Linienladungsaudrucks Lambda an der Stelle in die Kugelkoordinaten.
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Orangenschale
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| Beitrag No.3, eingetragen 2018-01-22
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Hallo LordNyxus,
deine Nachricht war relativ schwer zu verstehen. Generell sehe ich grosse Probleme beim Verstaendnis der Kugelkoordinaten.
Zudem ist mir aufgefallen, dass die $\phi$-Abhaengigkeit anscheinend in der Aufgabe nicht explizit gegeben ist. Deswegen verstehe ich nicht, wie du auf eine Ladungsdichte kommst, die ein funktionelle Abhengigkeit $\sim\cos\phi$ besitzt. Im Allgemeinen stimmt das nicht.
Bei der Erklaerung der Bedeutung von $r$ in Zylinder- und Kugelkoordinaten habe ich den Eindruck, dass du mit vielen Worten doch nicht den Kern erfasst hast. Deswegen hier mal ganz eindeutig: In Zylinderkoordinaten beschreibt $r$ den Abstand von der $z$-Achse, in Kugelkoordinaten beschreibt $r$ den Abstand vom Koordinatenursprung.
In Zylinderkoordinaten sollte die Ladungsdichte ungefaehr so aussehen: $$\rho(\vec r)=\rho(r,\phi,z)=\delta(r-a)\delta(z-b)f(\phi).$$ Da die Winkelabhaengigkeit $f(\phi)$ nicht explizit gegeben ist und auch sonst nichts weiter gegeben ist, kann man die Ladungsdichte nicht weiter spezifizieren.
Die Darstellung in Kugelkoordinaten wuerde ich vorerst wieder dir ueberlassen. Bitte fertige eine Skizze an und denk nochmal ueber die Bedeutung von $\theta$ nach.
Viele Gruesse,
OS
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LordNyxus
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-22
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Nachdem ich nicht oft jemandem Koordinatensysteme erkären muss, happerts daran ein wenig und wohl auch an der Uhrzeit. Am Verständnis nicht wirklich. Schlampigkeit könnt auch nicht unbeteiligt sein.
Die von mir angegebene Ladungsdichte in Zylinderkoordinaten stammte zwar ursprünglich von mir, ist aber inzwischen durch ein Beispiel meines Professors bestätigt worden.
Ich versuch ein Bild hochzuladen:
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/47631_Bsp1Ring.JPG
Ich trage deinen Kritikpukt aber gerne an ihn heran. Seine prinzipielle Erklärung dieser Formel war, ähnlich zu meiner, dass eben der Nebensatz in der Angabe, welcher lautet ", die in azimuthaler Richtung variiert", durch den Kosinusterm ausgedrückt wird. Ist halt die Frage ob das so eindeutig ist. Man könnt die Abhängigkeit ja auch mit einem Sinusterm ausdrücken, abhängig davon wo am Ring das Maximum liegt. Wird ja nicht genau angegeben, wo diese Maxima und Minima liegen. Naheliegend wär aber die Koordinatenachsen hier einfach so zu wählen, dass das Maximum oder das Minimum genau bei \(\phi=0\) liegt.
In Kurz: Die Ladung ist nicht gleichmässig auf dem Ring verteilt. Stattdessen ist diese an einer Stelle maximal, eben hier bei \(\phi=0\), und minimal bei \(\phi=\pi\).
Nochmal zum Thema Kugelkoordinaten.
Die Formel ist nicht auf meinem Mist gewachsen. Meine Glaubwürdigkeit kann ich leider nicht untermauern, da mir der Link zur Seite abhanden gekommen ist. Ich geh aber mal auf die einzelnen Fehler in der Formel ein.
Einer der Fehler, den ich gemacht habe war, dass der Ring nicht in der x-y Ebene liegt, sondern in einer Ebene, welche um den Wert b auf der z-Achse verschoben ist. Somit stimmt in meinem Fall der Term \(\delta(\theta-\pi/2)\) nicht. Da b aber unbekannt ist, kann ich den Winkel nicht definitiv angeben, sondern nur als Ausdruck. Mit Winkelfunktionen ergibt sich:
\(\tan(\theta')=\frac{a}{b}\)
\(\delta(\theta-\tan^{-1}(\frac{a}{b}))\)
Tangens ist wohl sinnvoller als Sinus oder Cosinus, da der Ausdruck für R ja doch nochmal länger ist und damit nicht zielführend. (Mehr dazu unten.)
Basis für die Berechnung ist das rechtwinkelige Dreieck, dass von der z-Achse und dem Vektor r gebildet wird. Der Radius des Rings a entspricht der Gegenkathete und b der Ankathete.
Dazu die Wikipedia Grafik als Quelle und meine Skizze
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/47631_261px-Kugelkoord-def.svg.png
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/47631_photo_2018-01-22_20-54-34.jpg
In dieser Grafik würde der Ring so liegen, dass alle Punkte den gleichen Normalabstand zur x-y Ebene haben und der Punkt P auf dem Ring liegt. Zentrum des Rings ist die z-Achse.
Zum r-Term. Natürlich muss ich hier den Unterschied zu den Zylinderkoordinaten beachten. \(\delta(r-a)\) macht hier nicht viel Sinn. Abermals mit Trigonometrie (Pythagoras) müsste es doch eher so sein:
\(R^2=a^2+b^2\)
\(\delta(r-R)=\delta(r-\sqrt(a^2+b^2))\)
Bleibt mir immernoch eben diese Abhängigkeitsgeschichte von \(\phi\)
Wenn überall auf dem Ring die gleiche Ladungsdichte herrscht, ist diese ja nicht vom Winkel abhängig. Laut dem Professor ist dem aber nicht so. Daher greife ich einerseits auf seine Erklärung zur Formel in Zylinderkoordinaten und auf die Wikipedia Grafik zurück. Dann muss ich in meiner Formel ausdrücken, dass die Ladungsdichte an einem Punkt maximal ist und mit steigendem Winkel \(\phi\) abnimmt bis zu einem Minimum, an dem die Ladungsdichte verschwindet, was doch wieder auf diesen ominösen Cosinus Term hinausläuft.
Die Formel jetzt angepasst wäre demnach:
\(\rho(\vec r)=\frac{Q}{2\pi R^2\sin(\theta)}\delta(r-R)\delta(\theta-\tan^{-1}(\frac{b}{r}))\cos(\phi)\)
Mit \(R=\sqrt(a^2+b^2)\)
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Orangenschale
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| Beitrag No.5, eingetragen 2018-01-22
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Hallo LordNyxus,
bevor du irgendeine Kritik an deinen Prof heranträgst möchte ich klarstellen, dass der Originalwortlaut der Aufgabenstellung sehr hilft, die Verwirrung aufzuklären. Dein erster Beitrag lautetet
\quoteon(2018-01-21 01:46 - LordNyxus im Themenstart)
Ein Kreisring mit Radius a liegt in der z=b Ebene und ist mit einer Linienladung belegt, die in azimuthaler Richtung variiert.
a) Geben Sie die Ladungsdichte in Zylinder und in Kugelkoordinaten an?
Zylinderkoordinaten stell ich mir einfach vor:
\[\rho(\vec(r))=\lambda \delta(r -a)\delta(z-b)\cos(\phi)\]
\quoteoff
Du hast die Aufgabe völlig anders formuliert als im Original. Der Aufgabensteller (dein Prof) hat die Ladungsdichte einfach so vorgegeben, in der $\phi$ Abhängigkeit steckt kein tieferer Sinn. Es war seine Wahl.
Dein Ergebnis in Kugelkoordinaten schaut jetzt gut aus, allerdings werde ich das Gefühl nicht los, dass das Ergebnis irgendwo abgeschrieben ist, denn die Größe $\lambda$ taucht nicht mehr darin auf. Stattdessen findet sich nun die Größe $Q$ in der Ladungsdichte.
Viele Grüße
OS
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LordNyxus
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-23
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Das Lambda ist nichtmehr drinnen, wegen meiner Überlegung ob die Linienladungsdichte in der Formel in Zylinderkoordinaten die gleiche ist, wie jene in Kugelkoordinaten. Sieht mans ganz normal als Ladung pro Länge, also Kreisumfang, dann dürfte sich ja eigentlich nichts verändern, weil der Kreisumfang ja in beiden Koordinatensystemen der gleiche bleibt.
Die fertige Formel wäre damit dann also eigentlich:
\(\rho(\vec r,\theta, \phi)=\lambda \delta(r-\sqrt(a^2+b^2))\delta(\theta-\tan^{-1}(\frac{a}{b}))\cos(\phi)\)
Danke auf jedenfall schon mal.
Eine Frage hätt ich dann noch, oder soll ich dafür extra einen eigenen Thread eröffnen?
Es geht um das Potential auf der z-Achse. Für einen homogen geladenen Kreisring ist das eh klar. Jetzt ist das aber nicht der Fall, was bedeutet, dass ich die Abhängigkeit von Phi beachten muss.
Die Formel ist allgemein:
\[\Phi=\int_V \frac{\rho}{|\vec r-\vec r'|} dV\]
Angepasst an Zylinderkoordinaten: (Jetzt muss ich mit den ganzen r aufpassen. Ich bleib aber konsequent und übernehme die Notationsänderung auch in den Ausdruck der Ladungsdichte.)
\[\Phi(\hat r,\phi,z)=\int_0^{\infty} dr' \hat r' \int_{0}^{2\pi} d\phi' \int_{-\infty}^{\infty} dz' \frac{\rho(\hat r',\phi',z')}{|\vec r-\vec r'|}\]
Es gilt \(\hat r'=x^2+y^2\)
\[\vec r=z \vec e_z\]
\[\vec r'=\hat r' \vec e_{\hat r}'+z' \vec e_z\]
\[ |\vec r-\vec r'| =\sqrt {\hat r'+(z-z')^2}\]
Alles eingesetzt inklusive der angegebenen Ladungsdichte:
\[\Phi(\hat r,\phi,z)=\int_0^{\infty} dr' \hat r' \int_{0}^{2\pi} d\phi' \int_{-\infty}^{\infty} dz' \frac{\lambda \cos(\phi')\delta(\hat r' -a)\delta(z'-b)}{\sqrt {\hat r'+(z-z')^2}}\]
Für Punkte auf der z-Achse gilt \(\hat r=0\)
Ich lös mal alle Integrale auf, ausser einem.
\[\Phi(\hat r=0,\phi,z)=R \int_{0}^{2\pi} d\phi' \frac{\lambda \cos(\phi')}{\sqrt {R+(z-b)^2}}\]
Bei der Integration über \(\phi'\), würde das Integral zu 0 werden und damit das ganze Potential. Das würde also bedeuten, dass auf der gesamten z-Achse das Potential verschwindet, was mir aber nicht ganz einleuchtet. Wie können sich die einzelnen Potentiale der Ladungselemente aufheben, wo es doch keine entgegensetzten Ladungen auf dem Ring gibt. Nur zwei Maxima der Ladungsdichte bei \(\phi=0\) und \(\phi=\pi\), sowieso zwei Minima an denen es gar keine Ladung gibt. Diese würden bei \(\phi=\pi/2\) und \(\phi=3\pi/2\) liegen.
Sorry, falls das wieder etwas zu konfus klingt, aber ich glaub, man versteht was ich meine.
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| Beitrag No.7, eingetragen 2018-01-24
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So ganz stimmt deine Ueberlegung zu den Kugelkoordinaten leider nicht, ausserdem weicht die Ladungsdichte jetzt deutlich vom Ergebnis aus deinem letzten Beitrag ab. Eine relativ einfache Methode ist es, die Ladungsdichte in Zylinderkoordinaten ueber alle Koordinaten zu integrieren, die eine Delta-Funktion enthalten. Dann macht man dasselbe in Kugelkoordinaten wobei man eine noch zu bestimmende Konstante einfuehrt, die man durch einen Vergleich der Ergebnisse in Zylinder- und Kugelkoordinaten erhaelt. In der Kurzfassung:
In Zylinderkoordinaten integrieren über den gesamten Raum $$I=\int dr d\phi dz\, r\lambda\delta(r-a)\delta(z-b)\cos\phi=\lambda a \int_0^{2\pi} \cos\phi.$$ In Kugelkoordinaten sollte die Ladungdichte folgende Form annehmen $$\rho(r,\theta,\phi)=C(r,\theta)\delta(r-R)\delta\left(\theta-\tan^{-1}\left(\frac a b\right)\right)\cos\phi.$$ Wiederum integrieren ueber den gesamten Raum (ersetze $\theta_0=\tan^{-1}\left(\frac a b\right)$) sollte das gleiche ergeben wie in Zylinderkoordinaten $$I=\int dr d\theta d\phi\, r^2 \sin\theta C(r,\theta) \delta(r-R)\delta\left(\theta-\theta_0\right)\cos\phi = R^2\sin\theta_0 C(R,\theta_0)\int_0^{2\pi}\cos\phi.$$ Koeffizientenvergleich: $$\lambda a = R^2\sin\theta_0 C(R,\theta_0),$$ also $$C(R,\theta_0)=\frac{\lambda a}{R^2\sin\theta_0}.$$ Die Gesamtladungsdichte ist damit gegeben mit $$\rho(r,\theta,\phi)=\frac{\lambda a}{r^2\sin\theta}\delta(r-R)\delta(\theta-\theta_0)\cos\phi.$$
\quoteon(2018-01-23 18:21 - LordNyxus in Beitrag No. 6)
Bei der Integration über \(\phi'\), würde das Integral zu 0 werden und damit das ganze Potential. Das würde also bedeuten, dass auf der gesamten z-Achse das Potential verschwindet, was mir aber nicht ganz einleuchtet. Wie können sich die einzelnen Potentiale der Ladungselemente aufheben, wo es doch keine entgegensetzten Ladungen auf dem Ring gibt. Nur zwei Maxima der Ladungsdichte bei \(\phi=0\) und \(\phi=\pi\), sowieso zwei Minima an denen es gar keine Ladung gibt. Diese würden bei \(\phi=\pi/2\) und \(\phi=3\pi/2\) liegen.
\quoteoff
Es gibt positive und negative Ladung auf dem Ring, da der $\cos$ Term poitive und negative Werte annehmen kann. Du hast zwar recht, dass $\lambda$ einer (konstanten) Linienladungsdichte entspricht, allerdings muss man den Term $\lambda\cos\phi$ als Ganzes betrachten, und dieser Term wechselt das Vorzeichen.
Viele Gruesse
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LordNyxus
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-31
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Da hab ichs mir wohl ein wenig zu einfach gemacht bei der Transformation. Danke für die ausführliche und verständliche Aufklärung.
Ausserdem versteh ich jetzt, warum das Potential verschwindet. Dass wegen dem \(cos\) auch negative Ladungen vorhanden sind, hätt ich sehen können, aber habs irgendwie...gekonnt übersehen.
Auf jeden Fall danke nochmal für die Mithilfe beim Beispiel. Ich erklär das Thema hiermit für erledigt.
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LordNyxus hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
LordNyxus hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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