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Physik » Relativitätstheorie » Scheinbarer Widerspruch in der SRT
Thema eröffnet 2018-01-24 21:17 von
digerdiga
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Universität/Hochschule Scheinbarer Widerspruch in der SRT
julian-apostata
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.40, eingetragen 2018-02-05



2018-02-04 19:59 - index_razor in Beitrag No. 37 schreibt: Ist diese Art der Lösung des Problems “abstrakt”?


Für "Hobbyrelativisten" auf jeden Fall. Und was macht man bei 2 Raumdimensionen, wie beispielsweise bei der verstellbaren Lichtuhr?

www.geogebra.org/m/NPvfsHQ8



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index_razor
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.41, eingetragen 2018-02-05

\(\begingroup\)
2018-02-04 22:51 - Tirpitz in Beitrag No. 38 schreibt:

@Tirpitz:  Vielen Dank für dein Lob und das aufmerksame Lesen.  Mit dem Vorzeichenfehler hast du natürlich recht.  Es sind genau genommen zwei Fehler, die sich gegenseitig aufheben, weswegen das richtige Ergebnis rauskommt und ich mich nicht weiter gewundert habe:

Erstens muß es tatsächlich

\[t \boldsymbol{u} + L\boldsymbol{e} = L'\boldsymbol{n}\]
heißen.  Und dann folgt aus \(\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{e}= -\gamma v\) und \(\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{e}=-\gamma\) wie du richtig bemerkt hast, natürlich

\[\boldsymbol{e}=\gamma(\boldsymbol{n} - v\boldsymbol{u})\]
(Man muß hier \(\|\boldsymbol{n}\|^2 = -1\)) beachten.  Einsetzen liefert dann

\[L\boldsymbol{e} = L\gamma(\boldsymbol{n}-v\boldsymbol{u})=L'\boldsymbol{n} - t\boldsymbol{u},\]
also wie vorher

\[L'=\gamma L \]
und

\[t = \gamma v L.\]
Ich hoffe so stimmt es jetzt.

2018-02-04 22:51 - Tirpitz in Beitrag No. 38 schreibt:
Die SRT mit affiner Geometrie aufzusetzen ist übrigens auch im Skript vom Dragon im Detail ausgeführt.

Dem kann ich nur zustimmen.  Selbst unter den modernen geometrischen Darstellungen finde ich die von Norbert Dragon besonders im Hinblick auf die Sorgfalt bei der Einführung der Grundbegriffe noch absolut einzigartig und auf jeden Fall einen genauen Blick wert.  

@digerdiga: Das war schon ein Exklusivartikel für den Matheplaneten. wink
\(\endgroup\)


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index_razor
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.42, eingetragen 2018-02-05


2018-02-05 18:31 - julian-apostata in Beitrag No. 40 schreibt:

2018-02-04 19:59 - index_razor in Beitrag No. 37 schreibt: Ist diese Art der Lösung des Problems “abstrakt”?


Für "Hobbyrelativisten" auf jeden Fall.

Da möchte ich eigentlich widersprechen. Ich betrachte mich selbst nur als "Hobbyrelativisten".  Zumindest wüßte ich nicht warum ich mich als etwas anderes betrachten sollte.  

Hattest du denn an irgendeiner Stelle Schwierigkeiten etwas zu verstehen?  Wo genau?


Und was macht man bei 2 Raumdimensionen,

Dasselbe wie in der euklidischen Geometrie mit drei Dimensionen: man benutzt seine Vorstellungskraft.  Oder vielleicht kann man auch zwei Minkowski-Diagramme aus verschiedenen Perspektiven zeichnen.  Ich kann mich aber nicht erinnern, das schon mal gemacht haben zu müssen.

Im übrigen habe ich bereits weiter oben im thread den Fall betrachtet, daß die Relativbewegung von S und S' nicht in dieselbe Richtung verläuft, in der das Ereignis E liegt.  Da waren also bereits 2 Raumdimensionen im Spiel.  Besonders schwer war das nicht.


 wie beispielsweise bei der verstellbaren Lichtuhr?

www.geogebra.org/m/NPvfsHQ8

Ehrlich gesagt geht es mir genau umgekehrt wie dir:  Ich kann nicht mal erkennen, was da jetzt eigentlich dargestellt werden soll, und wo man da mehr als eine Raumdimension benötigt.  Was genau ist denn eine verstellbare Lichtuhr?

EDIT: bei einer normalen Lichtuhr würde ich einfach die im Diagramm abgebildete Raumrichtung orthogonal zu den Spiegelflächen legen.  Was innerhalb der Flächen passiert, interessiert ja nicht.

EDIT2: Ich habs verstanden, denke ich.  Ein Beobachter sieht eine Lichtuhr, deren Bewegungsrichtung sich aus seiner Sicht von der Flugrichtung der Photonen unterscheidet.  Das ist bestimmt auch noch mal ein illustratives Beispiel.  Ich werde es später mal versuchen.




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julian-apostata
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.43, eingetragen 2018-02-06


Hattest du denn an irgendeiner Stelle Schwierigkeiten etwas zu verstehen?  Wo genau?

Hier zum Beispiel

2018-02-04 19:59 - index_razor in Beitrag No. 37 schreibt:




Weiter bin ich noch nicht gekommen, weil das doch ein sehr schwieriger Text ist, und man etliche Sätze bis zu 5-mal durchlesen muss, um sie zu verstehen.

Dass Q und P gleichzeitig statt finden ist ja noch klar. Aber wie bewerkstelligt man denn nun konkret, dass beim Ereignis O nun auch dort die Uhr dieselbe Zeit anzeigt wie bei Q und P?



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Tirpitz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.44, eingetragen 2018-02-06

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Dass Q und P gleichzeitig statt finden ist ja noch klar. Aber wie bewerkstelligt man denn nun konkret, dass beim Ereignis O nun auch dort die Uhr dieselbe Zeit anzeigt wie bei Q und P?

Gleichzeitigkeit bedeutet doch, dass deine Uhr für zwei Ereignisse die selbe Zeit anzeigt. Veranschauliche dir einmal, was während der Konstruktion dieses "Lichtecks" passiert: Du bewegst eine Lichtuhr, also ein paar Spiegel mit einem gewissen Abstand L voneinander. Die Spiegel stehen aber nicht transversal zu Bewegungsrichtung, wie sonst bei der Lichtuhr-Darstellung üblich, sondern parallel: (also wenn | ein Spiegel und \(\otimes\) eine Lampe ist ist, dann sieht das in etwa so aus: |   \(\otimes\)   |     \(\rightarrow \vec v\), wobei die Lampe gleich weit von beiden Spiegeln entfernt sein soll). Diese Konstruktion ist einfacher als die bekannte Lichtuhr, weil sie eben nur eine Raum und eine Zeit-Dimension (und nicht zwei Raum und eine Zeitdimension) erfordert.

Nimm nun zwei Inertialsysteme S und S', die zueinander bewegt sind und S' eine Lichtuhr hat, bei der sich in der Mitte der Spiegel die Lampe befindet. In dem Ereignis A treffen die Lampen aufeinander. In diesem Moment senden die Lampen ein Lichtsignal in Richtung beider Spiegel aus. Jetzt zwingt sich dir die Relativität der Gleichzeitigkeit förmlich auf, wenn du die Invarianz der Lichtgeschwindigkeit axiomatisch hinnimmst:
Beobachter S' wird irgendwann/wo in einem Ereignis A wieder die beiden Lichtsignale empfangen, und sie werden in einem einzigen Ereignis, also der Inbegriff von "gleichzeitig", bei ihm eintreffen, schließlich bewegen sich die Spiegel relativ zu ihm nicht und sie sind für ihn ja auch gleich weit entfernt.
Diese "lokale" Auffassung von Gleichzeitigkeit weitest du nun auf die räumliche Dimension aus: du weißt, dass es zwei Ereignisse Q und P geben muss, an denen das Licht die beiden Spiegel erreicht hat. Du definierst nun, dass alle Ereignisse, die auf der Verbindungsgeraden zwischen Q und P liegen, für S' als "gleichzeitig". Somit ist auch O, das Ereignis, an dem die S'-Uhr eine bestimmte Zeit anzeigt, gleichzeitig zur Reflektion des Lichts an den Spiegeln.

Der Beobachter S hingegen "sieht", dass das Licht, was von der Lampe ausgeht, dem einen Spiegel hinterhereilt (und ihn irgendwann einholt), während der andere Spiegel dem Licht entgegenkommt. Die Geschwindigkeit des Bezugssystem S' addiert sich nicht auf die Lichtgeschwindigkeit, sie bleibt konstant. Somit kann die Verbindungslinie zwischen Q und P für S nicht die Menge der gleichzeitigen Ereignisse sein, da die Lichtsignale schon nicht in einem Ereignis bei ihm wieder zurückkehren. Er hat eine andere Gleichzeitigkeit.
\(\endgroup\)


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index_razor
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.45, eingetragen 2018-02-06


2018-02-06 11:05 - julian-apostata in Beitrag No. 43 schreibt:
Weiter bin ich noch nicht gekommen, weil das doch ein sehr schwieriger Text ist, und man etliche Sätze bis zu 5-mal durchlesen muss, um sie zu verstehen.

Hm, trotzdem auch dir schon mal danke fürs Lesen.  Komplizierte oder sonstwie verworrene Stellen werde ich natürlich gern versuchen einfacher formulieren.


Dass Q und P gleichzeitig statt finden ist ja noch klar. Aber wie bewerkstelligt man denn nun konkret, dass beim Ereignis O nun auch dort die Uhr dieselbe Zeit anzeigt wie bei Q und P?

Ich bin nicht sicher, was du meinst.  O ist ja das Ereignis, welches wir suchen.  Es ist definiert als das Ereignis auf S gleichzeitig zu P.  (Und laut Konstruktion ist es ebenfalls gleichzeitig zu Q.) Wir müssen es nur finden.  Fragst du also, warum alle zu O gleichzeitigen Ereignisse auf einer Geraden liegen müssen?  



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index_razor
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.46, eingetragen 2018-02-06

\(\begingroup\)
2018-02-05 18:31 - julian-apostata in Beitrag No. 40 schreibt:
 Und was macht man bei 2 Raumdimensionen, wie beispielsweise bei der verstellbaren Lichtuhr?

www.geogebra.org/m/NPvfsHQ8

Meine Skizze dazu sieht so aus:

Nach rechts fliegt die Lichtuhr, nach links der Beobachter.  Man muß sich eben vorstellen, daß der Beobachter etwas in die Bildebene hinein fliegt.  Nicht eingezeichnet habe ich den Winkel \(\alpha\), der in die Rechnung aber auf ganz offensichtliche Weise eingehen wird.  Ich habe die Bezeichnungen etwas geändert \(t_+ = t_{\rm vor}\) und \(t_- = t_{\rm rück}\).

Aber die Interpretation der Skizze ist fast noch komplizierter als die Rechnung.  Die Vierergeschwindigkeiten von Lichtuhr und Beobachter sind jeweils \(\boldsymbol{w}\) und \(\boldsymbol{u}\).  Wie bereits gezeigt, gilt dann

\[\boldsymbol{u} = \gamma(\boldsymbol{w} - \boldsymbol{v}),\]
wobei \(\boldsymbol{v}\) die Geschwindigkeit des Beobachters aus Sicht der Lichtuhr ist.  Alle relativen Größen, auch der Winkel \(\alpha\), werden in der Animation auf die Lichtuhr bezogen.

Für die eingezeichneten Lichtstrahlen gilt

\[\boldsymbol{k}_{+} =\tau(\boldsymbol{w} + \boldsymbol{e}) = t_{+}(\boldsymbol{u} + \boldsymbol{n}_{+})\]
und

\[\boldsymbol{k}_{-} =\tau(\boldsymbol{w} - \boldsymbol{e}) = t_{-}(\boldsymbol{u} - \boldsymbol{n}_{-})\]
Die räumlichen Richtungen \(\boldsymbol{n}_{-}\) und \(\boldsymbol{n}_{+}\) sind die Richtungen von ein- und ausfallendem Lichtstrahl aus Sicht des Beobachters (nicht in der Skizze zu sehen).  Diese sind im allgemeinen gegeneinander verdreht, aber das interessiert uns im Augenblick nicht.  

Uns interessieren nur die Zeiten \(t_{+}\) und \(t_{-}\) gemessen von dem Beobachter.  Und die bekommen wir sofort durch Multiplikation der letzten Gleichungen mit \(\boldsymbol{u}\)

\[t_{+} = \tau\gamma(\boldsymbol{w} + \boldsymbol{e})\cdot(\boldsymbol{w} - \boldsymbol{v})=\tau\gamma(1+|v|\cos\alpha)\]
Der Winkel \(\alpha\), so wie ich meine ihn aus der Animation abzulesen, ist der Winkel zwischen dem Lichtstrahl und der Bewegungsrichtung des Beobachters relativ zu Lichtuhr.  Ebenso gilt

\[t_{-} = \tau\gamma(1-|v|\cos\alpha).\]
Einige Werte kann man sofort ausrechnen (für \(\tau = 1\) und \(v=0.8\))

\[\alpha = 0, \cos\alpha = 1:  \qquad t_+ = 3,\quad t_- = 1/3\] \[\alpha = 60^\circ, \cos\alpha = 1/2:  \qquad t_+ = 7/3,\quad t_- = 1\] \[\alpha =90^\circ, \cos\alpha = 0: \qquad t_+ = t_- = 5/3\]
\(\endgroup\)


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julian-apostata
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.47, eingetragen 2018-02-07


2018-02-06 19:23 - index_razor in Beitrag No. 45 schreibt:
Ich bin nicht sicher, was du meinst.  O ist ja das Ereignis, welches wir suchen.  Es ist definiert als das Ereignis auf S gleichzeitig zu P.  (Und laut Konstruktion ist es ebenfalls gleichzeitig zu Q.) Wir müssen es nur finden.  Fragst du also, warum alle zu O gleichzeitigen Ereignisse auf einer Geraden liegen müssen?  

Nein, eigentlich nicht. Ich dachte nur, es ginge um ein Rezept für die Synchronisation von Uhren und nicht um die Definition von Gleichzeitigkeit.

Aber ich werde jetzt einfach mal weiter lesen. Das kann allerdings noch Tage oder gar Wochen dauern, bis ich auch zu dem Beispiel mit der Lichtuhr gekommen bin.

Bei Unklarheiten kann ich mich ja zwischendurch wieder melden.



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julian-apostata
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.48, eingetragen 2018-02-09

\(\begingroup\)
2018-02-04 19:59 - index_razor in Beitrag No. 37 schreibt:

Damit können wir direkt aus dem Diagramm ablesen

\[\tau\boldsymbol{w}=t\boldsymbol{u}-s\boldsymbol{n}.\]

Bis hier her bin ich also gekommen. Und soweit ich dich richtig verstanden habe, kann man 3 der Variablen direkt aus der Grafik entnehmen, Die sind für mich allerdings ein wenig missverständlich formuliert.

Bei s vermute ich dass du die Strecke O'C meinst. Lieg ich wenigstens damit richtig?

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index_razor
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.49, eingetragen 2018-02-10

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2018-02-09 16:05 - julian-apostata in Beitrag No. 48 schreibt:
2018-02-04 19:59 - index_razor in Beitrag No. 37 schreibt:

Damit können wir direkt aus dem Diagramm ablesen

\[\tau\boldsymbol{w}=t\boldsymbol{u}-s\boldsymbol{n}.\]

Bis hier her bin ich also gekommen. Und soweit ich dich richtig verstanden habe, kann man 3 der Variablen direkt aus der Grafik entnehmen, Die sind für mich allerdings ein wenig missverständlich formuliert.

Bei s vermute ich dass du die Strecke O'C meinst. Lieg ich wenigstens damit richtig?



Ja, ganz genau.  Es soll gelten

\[ \overrightarrow{O'C}=s\boldsymbol{n},\qquad (1) \]
wobei \(s\) eine positive Zahl und \(\boldsymbol{n}\) ein raumartiger Einheitsvektor ist. Das wichtigste in diesem Zusammenhang ist das Vorzeichen in \(\|\boldsymbol{n}\|^2 = \boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{n}=-1\). Das heißt raumartige Strecken haben negatives Längenquadrat im Sinne der Minkowskimetrik.  Solche Strecken erkennst du im Minkowskidiagramm daran, daß sie den Lichtkegel verlassen.

Desweiteren gilt

\[ \overrightarrow{O'O} = t\boldsymbol{u}\qquad (2)\]
und

\[ \overrightarrow{CO} = \tau\boldsymbol{w}.\qquad (3)\]
Strecken innerhalb des Lichtkegels haben positives Längenquadrat, d.h. \(\|\boldsymbol{u}\|^2 = \|\boldsymbol{w}\|^2 = 1\).

Die Gleichungen (1), (2), (3) zusammengenommen ergeben also

\[\tau\boldsymbol{w} = \overrightarrow{CO} = \overrightarrow{CO'} + \overrightarrow{O'O} = -s\boldsymbol{n} + t\boldsymbol{u}.\]
(Links steht der direkte Weg von \(C\) nach \(O\), rechts der Umweg über \(O'\).)
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.50, eingetragen 2018-02-10


@index_razor
τw=tu-sn

Bevor ich versuche, diese Gleichung zu verstehen, sollte ich vielleicht noch kapieren, was u und w zu bedeuten haben. Meine Vermutung wäre die: Beide haben denselben Betrag, aber verschiedene Vorzeichen.

Die Gerade s' in meiner Grafik hab ich beispielsweise so definiert.
v=Einheitsvektor[Vektor[(0.4, 1)]]
s'=Gerade[O, v]

Ist nun der Betrag von u und w= 0.4/sqrt(1-0.4²)~0.4364?

Und der raumartige Einheitsvektor e. Kann man in der Grafik zeigen, wo der zu erkennen ist?



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index_razor
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\(\begingroup\)
Der Vektor \(\boldsymbol{w}\) ist ein Einheitsvektor entlang der (geraden) Weltlinie \(S\).  Ebenso ist \(\boldsymbol{u}\) der Einheitsvektor entlang der Weltlinie \(S'\).  Es gilt also \(\|\boldsymbol{u}\|=\|\boldsymbol{w}\|=1\).  Außerdem sind sie beide "zukunftsgerichtet", d.h. sie zeigen in dieselbe Hälfte des Lichtkegels, wenn man sie in dasselbe Ereignis, z.B. \(O\), verschiebt.  

Solche Vektoren heißen "Vierergeschwindigkeiten".  Sie zeigen aber in verschiedene Richtungen, wodurch sich die Relativbewegung von \(S\) und \(S'\) in der Minkowskigeometrie ausdrückt.  

Da es sich ja um Vektoren handelt, bin ich nicht sicher was du mit "verschiedenen Vorzeichen" meinst.  Man könnte vielleicht sagen, daß sie dasselbe Vorzeichen haben, wenn \(\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{w}>0\), was hier der Fall ist.  Dies folgt daraus, daß sie beide zeitartig und zukunftsgerichtet sind.

Zur physikalischen Deutung der Vierergeschwindigkeiten kann man vielleicht folgendes sagen.  Der Vektor \(\boldsymbol{u}\) definiert für den Bewegungszustand von \(S\) so etwas wie die Einheit der Zeitmessung.  In dieser Einheit gemessen ist also die positive Zahl t, die Zeit, die zwischen einem Ereignis \(O'\) und einem späteren Ereignis \(O\) auf \(S\) vergeht, genau dann wenn

\[\overrightarrow{O'O}=t\boldsymbol{u}.\]
Auf \(S\) ist \(C\) früher als \(O\) und deshalb gilt

\[\overrightarrow{CO}=\tau\boldsymbol{w}\]
für eine bestimmte positive Zahl \(\tau\).

Der Vektor \(\boldsymbol{e}\) zeigt von \(O\) aus in Richtung \(P\).  Mit anderen Worten, er gibt die Richtung an, in der das Ereignis \(P\) von \(S\) aus betrachtet stattfindet.

\(\endgroup\)


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julian-apostata
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@index_razor

Ich hab #37 vollständig durchgelesen. Am Schluss von (4) schreibst du t=Lvγ. Das müsste doch t'=-Lvγ heißen, denn es geht doch um dieses Ereignis:

t=0 x=6 t'=-8 x'=10

Oder meinst du was Anderes? Verwirrend fand ich übrigens die Bezeichnung der Einheitsvektoren. Statt u hätte ich beispielsweise e_t' und statt n e_x' geschrieben. Der Text wäre dann viel leichter zu lesen.

Trotzdem habe ich es bis zum Schluss geschafft. Aber vielleicht sollte ich nochmal von vorn anfangen, um das Gelesene zu vertiefen. Weil ich weiß immer noch nicht, wie ich dieses Ereignis übersichtlicher skizzieren sollte.




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