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 Schwache Konvergenz von Maßen |
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MrRob
Junior 
Dabei seit: 29.06.2017
Mitteilungen: 11
 |  Themenstart: 2018-02-06
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Hallo,
Seinen \(A,B\) Mengen mit \(B\subset A\) und \(P_n,P\) sind Wahrscheinlichkeitsmaße.
Es gilt: \(P_n\Longrightarrow P\) (\(P_n\) konvergiert schwach (wakly) gegen \(P\)), also gilt
\(\lim_n \int fdP_n =\int fdP\) für alle stetigen beschränkten Funktionen \(f\).
Meine Frage:
Warum gilt, dass
\(P(B)\leq \lim \inf P_n(A)\) ?
Danke für eure Hilfe!
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targon
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 01.04.2016
Mitteilungen: 114
| Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-06
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Hi MrRob,
sind \(P_n\) und \(P\) Wahrscheinlichkeitsmaße auf \(B\) oder \(A\)? Oder auf beiden Räumen? Sind \(A,B \subset \mathbb{R}\) oder so?
Prinzipiell wäre eine Idee, \(P(B)\) als Integral über irgendwelche Funktionen zu schreiben und zu versuchen, die Voraussetzung der schwachen Konvergenz, sowie die Monotonie des Maßes zu benutzen, also \(P_n (B) \leq P_n (A) \quad \forall n \in \mathbb{N} \).
Aber ein paar mehr Voraussetzungen wären hilfreich um auch erstmal zu wissen, welche Funktionen man benutzen darf \( 1_\mathbb{R} \) ist eine stetige Funktion auf \(\mathbb{R}\), \(1_{[0,1]}\) nicht beispielsweise.
Gruß
Targon
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MrRob
Junior
Dabei seit: 29.06.2017
Mitteilungen: 11
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-06
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Hey:)
Danke für deine Antwort! Da es sich um einen Seminarvortrag handelt, muss ich mal schauen, dass ich dich mit allen nötigen Informationen versorge;)
Also es sei \(D\) der Raum der rechtstetigen beschränkten Funktionen auf \([0,1]\).
Seinen \(x,y \in D\) so das \(y \in B\) eine bestimmte Eigenschaft hat, und \(x\in A\) eine bestimmte Eigenschaft hat. Ich schreibe die Eigenschaften noch mal unten auf, weiß aber nicht, ob die wirklich helfen.
Deshalb würde ich behaupten, dass \(P_n, P\) Maße auf \(D\) sind und \(A,B\) messbare Mengen
Eigenschaften:
\(w_x(\delta) := \sup_{0\leq t \leq 1-\delta}\sup_{a,b \in [t,t+\delta]} |x(a)-x(b)|\)
\(B:= \{y:w_y(\frac{1}{2}\delta) \geq 2\epsilon \}\)
\(A:= \{x:w_x(\delta)\geq \epsilon\}\)
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targon
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 01.04.2016
Mitteilungen: 114
| Beitrag No.3, eingetragen 2018-02-06
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Also \(B\) und \(A\) sind ja so, wie du die da unten definierst, Teilmengen von \(D\), den rechtsstetigen, beschränkten Funktionen auf \([0,1]\). Wenn du dann W-Maße auf \(D\) hast und davon die schwache Konvergenz so charakterisierst, wie du es im ersten Beitrag getan hast, muss du ja stetige, beschränkte Funktionen auf \(D\) bzgl. den \(P_n\) integrieren. Dafür wiederum brauchst du eine Topologie auf \(D\) usw. Ist das wirklich so gemeint? Worum soll es denn in deinem Vortrag gehen? Sind \(\varepsilon\) und \(\delta\) in deiner Def. von \(A\) und \(B\) fest?
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MrRob
Junior
Dabei seit: 29.06.2017
Mitteilungen: 11
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-07
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Hey, danke nochmals!
Also im Seminar geht es um den Raum D.
wir arbeiten dafür ein Kapitel aus durch.
Hier das Kapitel:
https://drive.google.com/open?id=0B95U21GZBE_5YjRGN2Z4SlB2TGRsal9iVHprVjZYemFyb040
Meine Frage bezieht sich auf den Beweis von Theorem 15.5 auf der Seite 127 (Das Argument 15.19 ganz unten).
Er macht das dort einfach als Schritt, ohne nähere Erklärung, weshalb ich erwartete, dass es relativ einfach ist und ich es einfach nicht sehe.
die \(w_x\) ect. sind auf S. 109 und 110 erläutert.
Und wir haben auch eine Topologie, die Skorohod Top. (s.111) die ist von einer Metrik auf \(D\) induziert.
Ich kann mir aber auf Grund der Kürze des Arguments kaum vorstellen, dass sich so viel benötige.
Wäre Portmanteau noch eine Idee?
Liebe Grüße und schon mal ein großes Dankeschön im Voraus!
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| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
targon
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 01.04.2016
Mitteilungen: 114
| Beitrag No.5, eingetragen 2018-02-08
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Ok also das sind mir jetzt leider zu viele Seiten in dem Buch zum schnell überblicken. Habe auf die Schnelle die Definition von schwacher Konvergenz nicht gefunden. Aber wenn du die nochmal kurz hier wiederholst kommen wir der Sache vielleicht näher.
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Ex_Senior
| Beitrag No.6, eingetragen 2018-02-08
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Üblicherweise läuft die behauptete Ungleichung auf ein Argument der folgenden Art hinaus: Finde eine stetige Funktion $f$ mit $1_B\leq f\leq 1_A$. Dann gilt
$\displaystyle
\mathbb{P}(B)\leq \int f\,d\mathbb{P}= \lim_{n\to\infty}\int f\,d\mathbb{P}_n\leq \liminf_{n\to\infty}\mathbb{P}_n(A).
$
Versuche einmal, eine solche Funktion für deine Mengen $A$ und $B$ zu finden (ich habe es nicht durchgerechnet). Wenn das nicht klappt, suche nach einer unterhalbstetigen Funktion (das Argument geht im Wesentlichen genauso durch).
Für beliebige Mengen $A$ und $B$ ist die Ungleichung im Allgemeinen übrigens falsch.
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